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魚亜嗚呼 |
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「算数」ではないですが、正方形のまま横幅と縦幅を無限に大きくした時、点の個数に対する直線の個数の割合は6/π^2(≒0.6)に収束します:
[厳密でない証明] (極限を考えればいいので端などは無視してざっくり考えると、)正方形の縦横の長さをnとし、 1≦a≦n, 1≦b≦n を満たす整数の組をランダムに選んだ場合にa,bが互いに素である確率を考えればよい。 a,bの最大公約数をgとする。gに素因数2が含まれる確率は1/2・1/2(どちらも2の倍数の場合なので)」、素因数3が含まれる確率は1/3・1/3、素因数5が含まれる確率は1/5・1/5…であり、「gに素因数pが含まれる事象」と「gに素因数qが含まれる事象」は(nが十分大きければ)独立と見做せるため、所望の確率は (1-1/p^2)を全ての素数pに対して掛け合わせたものである。この積の逆数、すなわち 1/(1-p^{-2})を全ての素数pに対して掛け合わせたものは、リーマンゼータ関数ζ(2)のオイラー積表示にほかならない。ζ(2)=π^2/6であるから、求める確率は6/π^2である。 |
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11月4日（木） 14:33:35
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