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おすまん |
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うまく画像をアップできないので、見にくいでしょうが、
このままベタ打ちいたします… 問題：次の条件を満たす６つの自然数a,b,c,d,e,f の組を考える。 aは、最も小さくていくつになることができるか。 [条件] a > b > c > d > e > f で、a-b, b-f, c-eなど、どの２数の差が異なる。 解答： a-b=P, b-c=Q, c-d=R, d-e=S, e-f=T …☆ とする。 a,b,c,d,e,f の６数について、２数の差は全部で 6C2 = 15個ある。 そこで、15個の差をP,Q,R,S,Tで表すと、☆以外に、 a-c=P+Q b-d=Q+R c-e=R+S d-f=S+T a-d=P+Q+R b-e=Q+R+S c-f=R+S+T a-e=P+Q+R+S b-f=Q+R+S+T a-f=P+Q+R+S+T となる。 [条件]を満たすには、この15個の数がすべて異なればよい。 ここでとりあえず、 P,Q,R,S,T および P+Q, Q+R, R+S, S+T …� ，裡晃弔凌瑤�異なるP〜Tの組を考える。 また、これで a を最も小さくするには、 P+Q+R+S+Tが最も小さければよいから、 P,Q,R,S,Tに小さい数から入れていく。 (i) 1, 2, 3, 4, 5 を入れるとき、 �，涼佑錬彊幣紊任覆韻譴个覆蕕覆い里如� 考えられる組み合わせは、 1+5, 2+4 ; 2+5, 3+4 ; 3+5 ; 4+5 の６通りある。 �，如�PとTは１回しか使わないことを考えると、 1はPかTのどちらかである。 P=1とするとQ=5 このとき R=2とすると、S=4 となり、P+Q=R+Sでダメ。 R=3,4の場合もダメ。 T=1のときも全く同じだから、この組合せではダメである。 (ii) 1,2,3,4,6 を入れるとき、 (i)と同様に考えて、�，涼佑料塙腓擦蓮� 1+4, 2+3 ; 1+6, 3+4 ; 2+6 ; 3+6 ; 4+6 の7通りある。 最後の３つの式には、どれも６が入っているが、 6は多くても2回しか使えない。和が７になる場合は２通りあるが、 1+6を選ぶと、1+4と2+3のどちらか１つと最後の３つの式のうちの１つしか 使えないからダメである。したがって、3+4を選ばなければならない。 このとき１を使うのは１つしかないから、1+4も選ばれる。 すると、P,Tが１の場合の P=1, Q=4, R=3 …�◆�R=3, S=4, T=1…�� が考えられ、�△里箸�、S=6, T=2 ��のとき、P=2, Q=6 となる。 ところが、このとき、それぞれ P+Q+R = S+T, R+S+T = P+Q であり、[条件]を満たさないから、 この組合せもダメである。 (iii) 1,2,3,5,6 を入れるとき、 同様に 1+3 ; 1+6, 2+5 ; 2+6, 3+5 ; 3+6; 5+6 の７通りを考える。 やはり６に着目すると、2+5 を選ばなければならず、 1+3も必然的に選ばれる。残りは適当に組合せばよい。 このとき、１例として、P=1, Q=3, R=6, S=2, T=5 …�い�あり、 総和は17である。 P〜Tの総和は、最小15であるが、(i) の場合しかないので無理。 16の場合も(ii)の場合しかないので、無理である。 よって、この17が最小となる。 f はどのような数でも良いが、aができるだけ小さくなるようにすると、 f=1、このとき、a = f+17 = 18 ■ |
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somewhere in the world
12月18日（水） 23:18:07
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