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今年から高齢者 |
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あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いします。
1月2日の出題はお休みだったので、第1081回の一般化を考えていました。即ち、 「1〜nの数を書いたカードが1枚ずつある。このカードn枚の全てを並べる。このカードの並びの、隣合う2つのカードに書かれた数を比較したとき、「左＞右」がkヶ所だけあるような並べ方は何通りあるか？」 第1082回の#47867と同じような発想で、なんとか答に辿り着きましたので、書き込ませて貰います。 kヶ所の仕切りを入れてk+1個のグループ（グループの並び順は固定しておく）に分ける。その各グループの中では「左＜右」と並べるようにすれば、「左＞右」の位置は、最大kヶ所である。ここから、k-1ヶ所以下の場合を引く。 n枚のカードの並びで、「左＞右」の位置がkヶ所だけの場合の数を、A(n,k)とする H(n+1,j)をn+1個からj個を選ぶ重複組み合わせとして記述する（普通に書くと判りにくいので） A(n,k)＝(k+1)^n−H(n+1,1)*A(n,k-1)−H(n+1,2)*A(n,k-2)−・・・−H(n+1,k-1)*A(n,1)−H(n+1,k)*A(n,0) 具体的なnの数を入れて、kを0,1,2,…,n-1として順次求めてゆけばよい。 各項は、例えばA(n,k-3)でk-3ヶ所の並びが得られたとすると、kヶ所の仕切りが必要なため、k-3ヶ所の他に3ヶ所の仕切りを入れる必要があるために、H(n+1,3)倍する。 n＝8の場合、k＝0,1,2,3,4,5,6,7の順に、1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1であった。 |
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1月4日（金） 9:06:42
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