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紫の薔薇の人 |
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５の剰余類、<0>、<1>、<2>、<3>、<4>のそれぞれの箱に区別のできる元が２個ずつ
あり、５個取り出して和をとると、0と合同となるのは何通りかという問題と同じ。 各箱には、2個ずつしか元がないので、2箱だけで、５個取り出すことはできず、 3箱、4箱、5箱のいずれかを使うことになります。 (I)5箱使う場合 これは、各箱から、1つずつ取り出す場合だから、2^5=32通り。 (��)4箱使う場合 この場合、3箱から1つずつ、1箱から2個取り出すことになりますが、 この5数の和は0と合同になりません。 各剰余類の代表元を、a,b,c,d,eとしたとき、 a+b+c+d+e≡0なので、例えば、a+b+c+2d≡0とすると、 a+b+c+2d＝(a+b+c+d+e)+(d-e)≡d-e≠0 となり矛盾だからです。 (��)３箱使う場合 この場合、２箱から２つずつ、1箱から１個取り出すことになりますが、 実は、2箱の組み合わせを一つ与えたら、残りの３箱の中の丁度１箱だけが、 ５数の和が0と合同にできる関係にあります。(※) したがって、この場合の組み合わせは、5C2*2＝20通り。 (I)〜(��)により、答えは32+20＝52通り// (※)の理由 a,bを異なる剰余類の代表元とすると、 2(a+b)+x=0となるxは、x≡3(a+b)ですが、このとき、x≠aかつx≠bです。 何故ならば、例えば、x≡aとすると、 a≡3(a+b) 2a≡-3b≡2b 2(a-b)≡0 Z5は体だから、a≡bとなり、矛盾。 |
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10月4日（木） 2:30:22
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