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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今回は図形の顔をした場合の数でしたね。 これもコツコツ調べれば規則性が見えるので，算チャレとしては標準的かやや易かな。 ただ，キチンと論理的に解こうとすると数学ぽくなってしまうようです。こんな感じで。 BC - AC = AC - AB = ○ cm，とします。○は 1 以上の整数です。 すると，AC = AB + ○，BC = AC + ○ = AB + ○ * 2，で， BC < 100，より，AB + ○ * 2 <= 99 < 100，AB <= 99 - ○ * 2，です。 一方で，三角形のできる条件より，BC - AB < AC，なので，○ * 2 < AB + ○，○ < ○ + 1 <= AB，です。 これら２つの条件より，○ + 1 <= AB <= 99 - ○ * 2，となり，このとき，1 <= ○ <= 32，です。 そして，この条件の下の AB，AC，BC で，三角形が１つ決定します。 そこで，○ = 1 〜 32 に対して AB は，(99 - ○ * 2) - (○ + 1) + 1 = 99 - ○ * 3 通り，存在するので， 全部で，96 + 93 + 90 + … + 9 + 6 + 3 = ((96 + 3) * 32)/2 = 1584 通り，になります。 より算数的には，○を 1, 2, 3, … と具体的に調べて 99 - ○ * 3 の規則性を見つける，といったところでしょうか。 別解というほどのものでもないですが，こんな風に考えてもいいですね。 BC - AC = AC - AB，より，AC = (AB + BC)/2，となり，AB と BC は，両方とも奇数又は両方とも偶数，です。 また，三角形のできる条件より，BC - AB < AC = (AB + BC)/2，なので，BC/3 < AB，がいえます。 これら２つの条件より， BC/3 < AB < AC = (AB + BC)/2 < BC < 100，AB と BC は，両方とも奇数又は両方とも偶数， です。そこで，BC を 3 〜 99 で動かして調べると， 03 04 05 06 07 08 09 … 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 <--- BC 02 02 02 03 03 03 04 … 31 31 31 32 32 32 33 33 33 34 <--- AB の最小値 00 01 01 01 02 02 02 … 29 30 30 30 31 31 31 32 32 32 <--- 可能な場合の数 ここまで書かなくとも規則性はすぐに分かりますね。 結局，(1 + 2 + 3 + … + 30 + 31 + 32) * 3 = (32 * 33)/2 * 3 = 1584 通り，になります。 こちらもより数学的に書くこともできますが， 6 の余りで場合分けになりそうで，若干面倒になりそうです。 |
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11月24日（木） 13:24:27
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