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uchinyan |
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掲示板を読みました。
注意 以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが， 折角なのでご参考までにと思って公開するものです。 そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に， 私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。 あくまでもご参考です。悪しからず。 やはり皆さん苦戦しているようですね。 #45469，#45470，#45475，#45488，#45491，#45499 赤，又は緑，の個数，位置などで場合分けし具体的にパターンを数え上げる解法。 詳細はいろいろあるようですが，そこらの分類は省略します。 #45471，#45472，#45476，#45478，#45507 赤緑のパターンの対称性により異なるそれぞれの重複を除いてから足し上げる解法。 ただし，#45472の， ＞228+(2^4-8)/2+(2^5-8)/2+(2^4-8)/2+8=288通り この左辺は，228 + 4 + 12 + 4 + 8 = 256 ≠ 288，でおかしいです。 そもそも， ＞左右対称の塗りかたは2^5通り ＞これは上下に返す(回転しても同じ)形を含むので ＞実質半分の2^4通り この半分にする辺りがおかしいように思いますが．．．？ その後，修正が入りましたね。今は訂正されています。 #45473＋#45503 塗り方を上下対称と非対称に分けて数える解法，とのこと。 詳細は不明。 数珠順列がベースになっている？ その後#45503で詳細が説明されました。 数珠順列と同じというのは裏返して同じになるかどうかということのようです。 具体的には，まず，左と右の正六角形が上下対称かどうかで場合分けし， 各場合で左右対称と回転対称を考慮して数えていくということのようです。 #45474＋#45477 ＞場合わけして計算したら という解法。詳細は不明。 ＞282になって間違えました。 実は私も最初こうなりました。間違いの原因は， 左右対称と上下対称だけ考えれば回転対称は実現できるので考えなくてよい， と思ったことで， (2^10 - 2^5 - 2^6 + 2^3)/4 + (2^5 - 2^3)/2 + (2^6 - 2^3)/2 + 2^3 = 234 + 12 + 28 + 8 = 282， 明らかに，回転対称であって左右対称でも上下対称でもないものがあるので，これは間違い。 ただし，この場合 2^5 - 2^3 = 24 を 4 で割った 6 を足せば 288 になります。 しばし，意味があるのだろうか，と考えたのですが，偶然でしょうね。 #45484 赤緑のパターンの対称性により異なる重複度をそろえて一気に除く解法。 なるほど，この手がありましたね。先に重複を除くことばかり考えてうっかりしました。 ただ，ちょっと分かりづらいかも知れないので補っておきましょうか。 この図には，そもそも，左右対称，上下対称，180°の回転対称の３つの対称性がありますが， これらのどの２つの対称移動操作を行っても３つ目の対称移動操作が現れます。 そこで，これ３つの対称移動操作，左右反転，上下反転，180°の回転，によって移り合う赤緑のパターンは８つではなく最大でも４つです。 これを重複度ということにすると，次のとおりになっており，これですべてです。 a：対称性の全くないパターンの重複度は 4， b：左右対称だけをもつパターンの重複度は 2， c：上下対称だけをもつパターンの重複度は 2， d：回転対称だけをもつパターンの重複度は 2， e：２つ＝すべての対称性をもつパターンの重複度は 1。 これらの重複度の表現を記号として，(a,b,c,d,e)，と表すことにします。 それぞれの位置に重複度が書かれますが，そもそも該当しない場合は重複度はないので 0 とします。 ここまで準備しておいて， すべてのパターン，2^10 = 1024 通り，a, b, c, d, e が含まれ，重複度は (4,2,2,2,1)， 左右対称のパターン，2^5 = 32 通り，b, e が含まれ，重複度は (0,2,0,0,1)， 上下対称のパターン，2^6 = 64 通り，c, e が含まれ，重複度は (0,0,2,0,1)， 回転対称のパターン，2^5 = 32 通り，b, e が含まれ，重複度は (0,0,0,2,1)， そこで，これら４つを足すと，重複度は (4,4,4,4,4) となって，a, b, c, d, e のすべてが 4 になります。 これより，重複を除くには 4 で割ればよく， (1024 + 32 + 64 + 32)/4 = 1152/4 = 288 通り， が答えになります。 なかなかうまいですね。 また，すべての対称性をもつ 2^3 = 8 通りが表に現れないのも面白いです。 プログラムによる解法がなかったのがちょっと意外。 冗長でもよければ容易に組めるのですが．．． とか言ってたら．．． #45483，#45490，#45492，#45493，#45495，#45501 プログラムによる解法。 |
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11月10日（木） 10:59:55
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