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Halt0 |
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37 が答えで間違いないようです. というのも, いろいろと調べたところ, 参加者数が mod 12 で 1 または 4 に等しいことが, 問題の条件を満たすような試合の組み合わせが存在するための必要十分条件である, と証明したらしき論文を見つけたためです. もっとも, 証明を追うのは私の手に余るので, 興味のある方は読んでみてください.
まず, https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_system "A Steiner system with parameters t, k, n, written S(t,k,n), is an n-element set S together with a set of k-element subsets of S (called blocks) with the property that each t-element subset of S is contained in exactly one block. In an alternate notation for block designs, an S(t,k,n) would be a t-(n,k,1) design." 本問はこの t=2, k=4 の場合にあたります. つまり, Steiner system S(2,4,n), あるいは block design の言葉でいえば 2-(n,4,1) design が存在するような n の条件を求めることになります. そして, これについて書かれているのが次の論文です. https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705047 記法が少し違いますが, こちらの論文の balanced incomplete block design (BIBD) B[k,λ,v] というのは, 先程の言葉でいえば block design 2-(v,k,λ) のことです. われわれが知りたいのは k=4, λ=1 の場合, すなわち BIBD B[4,1,v] が存在するかどうかでしたが, 6 章のはじめに定理として "A necessary and sufficient condition for the existence of BIBD of v elements, with k=4 and any λ is that λ(v-1)≡0 (mod 3) and λv(v-1)≡0 (mod 12)" とあります. ここから v (今回の問題の「参加者数」にあたる) が v≡1,4 (mod 12) を満たすことが BIBD B[2,1,v] が存在することの必要十分条件であることがわかります. |
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10月22日（土） 4:33:07
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