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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，すぐに 992 の約数がらみと分かりますが，個人的には少し目新しい問題でした。 その目新しさ込みで算チャレとしては標準的かやや易かぁ。こんな感じで。 正992角形の 992 個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作るには， その正多角形の頂点の間の正992角形の頂点の個数が等しくなければなりません。 そのためには，992 の約数が正多角形＝正ｎ角形のｎ，対称性から 992/約数 通りが可能，になります。 992 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 31 で，ｎは 1 と 2 は取れないことに注意すると，具体的には次のようになります。 992 = 992 * 1，正992角形が 1 通り， 992 = 496 * 2，正496角形が 2 通り， 992 = 248 * 4，正248角形が 4 通り， 992 = 124 * 8，正124角形が 8 通り， 992 = 62 * 16，正62角形が 16 通り， 992 = 31 * 32，正31角形が 32 通り， 992 = 32 * 31，正32角形が 31 通り， 992 = 16 * 62，正31角形が 62 通り， 992 = 8 * 124，正8角形が 124 通り， 992 = 4 * 248，正4角形＝正方形が 248 通り， ここまでですべてなので， 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 31 + 62 + 124 + 248 = 528 通り， になります。 考え方さえ分かってしまえば，計算の工夫はいろいろと考えられます。 単純にべき乗を使って書けば， 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31 = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31 = 63 + 15 * 31 = 528 通り， とか， 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31 = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31 + 2^4 + 2^5 = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 32 + 16 + 32 = 15 * 32 + 48 = 528 通り， とか， 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31 = 3 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 4 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31 = 3 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * (4 + 31) = 3 + 15 * 35 = 528 通り， とか。 要するに 992 の約数の和から 992/2 = 496 と 992 を除けばいいので， (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) * (1 + 31) - 496 - 992 = 63 * 32 - 1488 = 2016 - 1488 = 528 通り， 992 の約数の和が 2016 になったのはご愛嬌，かな (^^; さすがにこれはやりすぎだと思いますが，496 = 2^4 * 31 = 2^4 * (2^5 - 1) が完全数と気付けば， 992 の約数の和から 992/2 = 496 と 992 を除くというのは， 完全数である 496 の約数の和から 496 を除いたもの，これは完全数だから 496，と， これに 496 の約数ではない 32 を足せばいいので， 496 + 32 = 528 通り， なんてのもありますね。ただ，これは我ながら分かってる自慢がちょっと鼻につく気も (^^; こういう工夫は各人の予備知識と思い付くかどうかによるので様々で，良し悪しは微妙な気もします。 まだまだあるかも知れませんね。 |
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10月13日（木） 14:47:45
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