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uchinyan |
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今回の問題は， 125 で割った余りと 8 で割った余りで考える，がスッキリしており想定解でもあるようですが，
何か面白みに欠けるので，私も，計算の工夫で頑張る，という解法にトライしてみました。 結果として，#45160，#45161，#45166辺りを再現する形になったようです。 ただ，以下の計算では，括弧を外す計算，合同式などを使っているので， そのままでは算数ではなく数学ですが，所詮計算のテクニックと表現の簡便法なので， 説明次第では算数になるだろうと思います。 以下では， 下３桁なので，合同式「≡」は mod 1000，1000 の倍数は無視し 1000 で割った余りに置き換える，とし， 100 以下の奇数の積を P とします。少し丁寧に書きます絵。 まず， 1 * 3 * 5 * 7 * 9 = (1 * 3 * 7 * 9) * 5 = 189 * 5 = 945， 11 * 13 * 15 * 17 * 19 = (10 + 1)(10 + 9) * (10 + 3)(10 + 7) * 15 = (10 * 10 + 10(1 + 1 * 9) + 9)(10 * 10 + 10(3 + 7) + 3 * 7) * 15 = (200 + 9)(200 + 21) * 15 = (200 * 200 + 200(9 + 21) + 9 * 21) * 15 = (40000 + 6000 + 189) * 15 ≡ 189 * 15 = 945 * 3， 21 * 23 * 25 * 27 * 29 = (20 + 1)(20 + 9) * (20 + 3)(20 + 7) * 25 = (20 * 20 + 20(1 + 1 * 9) + 9)(20 * 20 + 20(3 + 7) + 3 * 7) * 25 = (600 + 9)(600 + 21) * 25 = (600 * 600 + 600(9 + 21) + 9 * 21) * 25 = (360000 + 18000 + 189) * 25 ≡ 189 * 25 = 945 * 5， 以下同様に， 31 * 33 * 35 * 37 * 39 ≡ 189 * 35 = 945 * 7， … 81 * 83 * 85 * 87 * 89 ≡ 189 * 85 = 945 * 17， 91 * 93 * 95 * 97 * 99 ≡ 189 * 95 = 945 * 19， そこで， P = 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * … * 91 * 93 * 95 * 97 * 99 ≡ 945 * (945 * 3) * (945 * 5) * (945 * 7) * … * (945 * 17) * (945 * 19)， です。 ここで，945 = 1000 - 55，と置き換えれば，#45160，#45161で， P ≡ (-55) * ((-55) * 3) * ((-55) * 5) * ((-55) * 7) * … * ((-55) * 17) * ((-55) * 19) = 55 * (55 * 3) * (55 * 5) * (55 * 7) * … * (55 * 17) * (55 * 19) = 11^10 * 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95 11^2 = 121，11^3 ≡ 331，11^4 ≡ 641，11^5 ≡ 051，11^6 ≡ 561，11^7 ≡ 171，11^8 ≡ 881，11^9 ≡ 691，11^10 ≡ 601，より， ≡ 601 * 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95 ≡ 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95， この後はいろいろできますが，例えば，折角なので以前の結果を使うと， = 5^10 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19， としておいて， 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 ≡ 945 * (945 * 3) ≡ (-55) * ((-55) * 3) = 55 * (55 * 3) = 55^2 * 3 = 3025 * 3 ≡ 25 * 3， P ≡ 5^10 * 25 * 3 = 5^8 * 625 * 3 ≡ 5^7 * 125 * 3 = 5^6 * 625 * 3 ≡ 5^4 * 625 * 3 ≡ 5^2 * 625 * 3 ≡ 625 * 3 = 1875 ≡ 875， つまり，P の下３桁は 875 です。 先ほどの「ここで，」に戻って，945 を残せば#45166と思われますが，， P ≡ 945^10 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19， 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 ≡ 25 * 3， だったので， P ≡ 945^10 * 25 * 3， これは，#45166の， ＞3x945の10乗 とちょっと合わない．．．？ ただ， 945^2 ≡ 55^2 = 3025 ≡ 25，945^4 ≡ 25^2 = 625，25^2 * 25 = 625 * 25 ≡ 125 * 5 = 625 = 25^2， なので， P ≡ 945^10 * 25 * 3 = 945^6 * 945^4 * 25 * 3 ≡ 945^6 * 25^2 * 25 * 3 ≡ 945^6 * 25^2 * 3， ≡ 945^6 * 945^4 * 3 = 945^10 * 3， となって一致はしますね。多分，途中の式変形が少し違うのでしょう。 いずれにせよ， P ≡ 945^10 * 25 * 3 ≡ 945^10 * 3 ≡ 25^5 * 3 = 625 * 25^3 * 3 ≡ 625 * 3 = 1875 ≡ 875， つまり，P の下３桁は 875 です。 まぁ，同じ式の計算なのだからどうやっても同じですよね (^^; |
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9月10日（土） 13:39:30
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