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「数学」小旅行 |
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高校のベクトルの演習問題としてちょうどいい問題だと思います。
BP,DQの延長とACとの交点をそれぞれ、P',Q'とすると AP':P'C=2:5,AQ':Q'C=4:3になります。 そこで、点P,P',Q',Qを通り、辺ABと平行な直線と辺ADとの交点を順に、 I,J,K,Lとし、AD=1とすると、AI=2k,IJ=2/7-2k,KL=3/7-3k,LD=3kと 置くことができます。（△PAB:△QCD=2:3を考えに入れました。） だから、点Pは線分BP'を2k:(2/7-2k)の比に内分する点となり、 ベクトルAP（以下これを単にAPと書くことにします）は、 内分点の位置ベクトルの公式により、計算すると、AP=(1-5k)AB+2kAD。 点Qについても同様にして、AQ=4kAB+(1-3k)AD となります。 ゆえに、点Rが線分PQを(1-u):uの比に内分するとすると、 AR=uAP+(1-u)AQ=‥‥={4k+(1-9k)u}AB+{(1-3k)+(-1+5k)u}AD と なり、点Rが対角線BD上にあることから、上の式の係数の和が１に なるので、{4k+(1-9k)u}+{(1-3k)+(-1+5k)u}=1 すなわち、k+(-4k)u=0 よって、u=1/4 よって、PR:RQ=3/4:1/4=3:1 以上、kに依らずその比が一定になることが納得できました。 |
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3月18日（金） 18:58:02
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