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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，じっくりと地道に考えれば解ける問題なので，算チャレとしては標準的かやや易，常連さんには易，でしょうか。 それと，算チャレでは何回か類題があったと思います。こんな感じで。 (解法1) 地道に 使う色が１色の場合は，明らかにあり得ません。 使う色が２色の場合 色を選ぶのに 3 通り。配置の仕方は互い違いしかなく 2 通り。 そこで，この場合は，3 * 2 = 6 通り，です。 使う色が３色の場合 同じ色の配置の個数は，3, 2, 1 又は 2, 2, 2，です。 3, 2, 1 のとき 色の割り当ては 3 * 2 * 1 = 6 通り。 配置の仕方は，3 を１つ置きにし残りの３か所の１つを 1 にするしかないので，2 * 3 = 6 通り。 そこで，このときは，6 * 6 = 36 通り，です。 2, 2, 2 のとき 色の割り当ては 1 通り。 配置の仕方は，１色を六角形アイウエオカの中心に関して対称にする，アとエ，イとオ，ウとカ，のいずれか，しかなく， さらに，例えば，アとエならば，次の１色を，イとカとするか，イとオとするか，しかあり得ません。 前者は，中心に関して対称が 3 通り，配置パターンへの色の割り当てに 3 * 2 * 1 = 6 通り，で，3 * 6 = 18 通り。 後者は，結局，３つの色を中心に関して対称に配置することになるので，配置パターンへの色の割り当てに 3 * 2 * 1 = 6 通り。 そこで，このときは，18 + 6 = 24 通り，です。 これらより，３色の場合は，36 + 24 = 60 通り，です。 以上ですべてなので，求める場合の数は，6 + 60 = 66 通り，になります。 (解法2) 漸化式 一般に，配置する箇所が n 箇所の場合の数を An 通りとします。求める場合の数は A6 です。 すると，アは 3 通り，イはア以外なので 2 通り，ウはイ以外なので 2 通り，．．．，カはオ以外なので 2 通り，となり， ナイーブには，3 * 2^5 通り，ですが，この中にはカとアの色が一致してしまうものがあります。 色が一致してしまう場合は，カとアが１つのアと考えていいので，これは A5 通りです。 つまり，一致する場合を除いて，A6 = 3 * 2^5 - A5，です。同じことは繰り返しいえるので，結局， A6 = 3 * 2^5 - A5，A5 = 3 * 2^4 - A4，A4 = 3 * 2^3 - A3，A3 = 3 * 2^2 - A2， ただし，A2 = 3 * 2 = 6，です。これより， A3 = 3 * 2^2 - 6 = 6，A4 = 3 * 2^3 - 6 = 18，A5 = 3 * 2^4 - 18 = 30，A6 = 3 * 2^5 - 30 = 66， つまり，求める場合の数は，66 通り，になります。 (解法1)は，算数で問題ないでしょう。 (解法2)は，最近の算数談義では異論の出る解法かも知れませんが，算チャレでは頻繁に使われる手法なので， 私は，算チャレでは算数，と思っています。 ちなみに，この漸化式自体も今までの算チャレで何回も登場しているものです。 |
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ネコの住む家
11月26日（木） 13:11:33
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