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今年から高齢者 |
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PとVが一致すれば、条件を満たすことはわかるが、この問題のように、条件を満たせば、PとVが一致することを示すのに苦労した。
AB=a, BC=b, CA=cとおく。 まず、UVのない状態を考える。 QTPSは平行四辺形（対角線が互いに他を二等分する）。��RCB∽��RSQより、QS=TP=2b。 ��QBA∽��QRPより、RP=2a。故に、��TRPの辺の長さは、2c, 2a, 2b。 次に、PQのない状態を考える。 VRUSは平行四辺形。��TBA∽��TUSより、US=RV=2a。 ��UCB∽��UVTより、VT=2b。故に、��TRVの辺の長さは、2c, 2a, 2b。 ここから、��TRP≡��TRVなので、PとVの位置は一致し、PV=0 cm。 #43918で述べられているように、空間でも同じ結果になるというのもおもしろい。 （空間を平面に投影した場合にも問題の条件は維持される。 平面の任意の三角形とPの位置でも成立するので、立体の場合を任意の角度で投影しても成立している。 そのためには、PとVは同じ位置でなければならない） |
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11月19日（木） 15:16:29
43923 |