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ボーナス問題 |
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少し遅くなりましたが、uchinyan さん (#43772)、
あめいさん (#43775)、 今年から高齢者さん (#43781) への返答です。 その前に、前置きがあります。 マサルさんの元の問題 (第９４７回) を、多くの皆さんが、余りを書 き込んだ正方形で答えを導き出しているかと思います。が、どなたも 実際に実現可能かに触れていないように見えます。 uchinyan さんは、私の問題に対しては、初めに可能性を示し、それが 実現可能であることを示そうとしています。 なのに、なぜ、皆さん、元の問題では、それをしてないのでしょう ? どなたか、分かりやすく説明して頂けませんか ? なお、私は、実現可能であることを示すには、実際に置ける例を示す 以外の方法が分かりませんでした。 もっとスマートな方法があるの でしょうか ? ここまでが、前置きです。 最初に、uchinyan さんの #43772 に対する、私の返答です。 > ただ，ここで問題への考え方に違いがあって齟齬が生まれたと認識しています。 ケンカを売るようで申し訳ないのですが、私は、問題への考え方に 対する齟齬は無いと認識しています。 考え方こそ違え、私と uchinyan さんの解法は、最初に可能性を示し、 それが可能であることを示そうと試みています。 唯一の違いは、uchinyan はストレートに残せるマスを探したのに対し、 私は残せないマスを探したところです。 この点で、私の解法より uchinyan さんの解法が優れているいると、 私は感じています。 齟齬があるとしたら、別のところにあると思います。それを、説明さ せて頂きたいと思います。 > ここらは次のように集合の手法で説明するのがいいかも知れません。 集合についての議論自体には、特に異論はありませんし、私の検証でも 同様な手法を使っています (後述参照)。 最初、私のとんでもない誤解があったので、わざわざ、お手間をとらせ てしまったのではないかと、恐縮しています。 ただ、私が引っかかったの以下の部分。 > 私の言う十分条件はこの意味で，分かりやすい 2 * 2 の正方形にかぎ形 > と 13 がある例に言及しました。 この部分、意図は十分理解できます。元の #43751 でも同様です。が、 > こうした論理の流れで，詰めが甘い，というご批判には抵抗がありました。 お言葉を返すようなのですが、定義より、このパターンが「タイプ０と 13」 の集合Ｃに属することは明らかです。が、これが実現可能な集合Ａに含ま れるかどうかの説明は、これまでなかったように思います。 これをもう少し説明すると、unchinya さんが、どのようにして 7x7 の正 方形において 1x3 の長方形を 15 個置いて、条件に合致する 2x2 の正方 形を残すことができると判断したのかが、私には理解できないのです。 もっとも、7x7 の四隅の一つの 4x4 の正方形と残り部分を考えれば、ほぼ 自明ですし、あめいさんがすでに #43741 で 4x4 で実現可能であること に言及されていたこともあるので、今では自明なこととして説明を割愛さ れたと理解しています。 これは、私自身が考えた解法でも同じで、本当にそのようなマスを残せる 配置があるのか自信はありませんでした。だから、プログラムを組んで検 証してみたのです。 そして、そこで初めて、4x4 に帰着すると気が付いた愚か者でもあります。 ここだけが、私が思う「詰めが甘い」部分です。 単に「詰めが甘い」というのではなく、私の疑問を直接的に書くべきだっ たと、今は思っています。 私が考えるに、齟齬があるとすれば、これではないでしょうか ? もし、私がまだ何か勘違いしているようであれば、 ご教示頂けるとありがたいです。 また、上でも触れましたが、私の #43767 の検証部分も同じです。 なぜなら、長方形を置いたあとの残りの 4 マスについて、 私の記法 {310} では、かぎ形が置けるのは、常に△が 3 個の時だけ かもしれません (結果残せるのは△だけ)。 同様に {211} と {220} でも、残せるのは △だけなのかもしれません。 ところが、4x4 で考えると、位置的に条件を満たす {220} の 2x2 の正方形 を残すことができます。{220} が 2x2 の正方形に収まっているのなら、その 正方形のすべてのマスを最後に残すことが可能なことはほぼ自明です。 ここで、初めて証明ができたと私は考えています。 なお、上の検証では、{310} や {211} の場合の言及がありません。 これは、uchinyan さんと同じ理由 (と私が勝手に思っている) で、 不要と判断したためです。 求めているのは、残せるマスであって、どこにかぎ形を置けるかでは ないので。 私の《まぎれのない》 説明もまだまだ不十分でした。 まだまだ精進が足りませんね、反省。 > 最後は mod 3 ですね。 私も「詰めが甘い」ですね。どうか、ご容赦を。 > 確かに，面白いし，すごい！，です。 Analytic Combinatorics スゴイでしょ ? 私の感動に共感してくれる方がいて、非常に嬉しいです。 また、かーちゃんさんの #43738 については、3 で割った余りを 書き込んだパターンの正方形を使った説明と等価だと認識してい ます。 > (座標の入れ方が 1 だけズレているので要注意。) 親切な注釈ありがとうございます。おかげで、変な誤解をしな いで済みました。 次に、あめいさん (#43775)。考え方は、私も理解しているつもり です。そして、結果的には正しいことが、uchinyan さんも示して います。 ただ、あめいさんの方法では、4x4 に、かぎ形と長方形が 1 マス だけ残して 4x4 からはみ出ることなく、配置した場合に限られま す。 が、私が #43758 で示した、以下のかぎ形と最後に残る 1 マスが 4x4 の正方形に収まらない場合があります。 ＡＢＢＢＣＣＣ ＡＡＤＤＤＸＥ ＦＦＦＧＧＧＥ ＨＨＨＩＩＩＥ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ 仮に、かぎ形と最後の 1 マスが、4x4 に収まるように DDDX を左 右反転しても、長方形のいくつかがはみ出してしまいます。 なので、4x4 から一足飛びに 7x7 でも同じとは、言い切れないと 私は思っています。 最後に、今年から高齢者さん (#43781) へ。 > この方法は十分条件ではあるかも知れませんが、必要十分条件といえるかどうか？ 少し説明を端折り過ぎたようです。以下のように考えます。 ある型 (3N+1 か 3N+2) の正方形において、1x3 の長方形をいくつか 適当に配置して、元の正方形より小さい 3N+1 型か 3N+2 型の正方形 を残すこすことができたとします。その場合、もし、両者で残せるマ スの位置が異なっていれば、矛盾します。なので、両者の残せるマス の位置は必ず一致します。 また、3N+1 型も 3N+2 型の両方とも、自分と同じ型で、自分よりも 1 だけ小さい (N-1) 正方形をすべての四隅に残すことができます (ただし、1 度に 1 つだけ)。 なぜなら、大きな正方形から、小さな正方形を除いた領域は、 3x(N-1)、(N-1)x3 の長方形 2 つと 3x3 の正方形 1 つに分解でき、 それらはすべて、1x3 の長方形で隙間なく覆うことができるので。 それら小さい正方形 4 つで、大きな正方形のすべてのマスを覆い尽 くします。 なので、必要十分であると、私は考えます。 > １つの現れは８×８です、隅から５×５を切り出して考えることももできますし、 > 両側から２マスずつとって中央の４×４と考えることも出来ます。結果は同じに > なるので、何らかの関係があるとは思いますが、その因果関係の証明のわからと > ころがしっくり来ない一部分です。 これも、上の説明で明らかだと思いますが、 いかがでしょうか ? |
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10月9日（金） 7:47:05
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