|
ボーナス問題 |
|
今年から高齢者さんへ (#43759)。私も横から失礼します。
> 状態はよく解ったのですが、特定の非対称の場所を除いたとしても、 > 他に非対称の場所はいっぱいあるのでうまくかみ合う場合があって > もいいと思うのですが、なぜうまくかみ合うことがないのかがいま > だにしっくりときていません。 なぜかというと、3N+1行×3N+1列の場合は、すべて 4x4 に。 3N+2行×3N+2列の場合は、すべて 5x5 に帰着するからです。 例えば、7x7 は、四隅の一つから 4x4 を切り出すと、 切り取られた後の図形は、長方形ですべて覆うことができます。 その状態では 4x4 にて残せるマスしか、7x7 で残せるマスに なりえません。 これを、四隅すべてについて考えると、7x7 の全てのマスを チェックしたことになり、位置が回転対称になることが判ります。 同様に 10x10 の場合も、7x7 を切り出せば、同様のことが言えます。 8x8 の場合も、5x5 を切り出して考えれば同様になります。 また、残せる場所についての予想も正しいです。 NxN の正方形の各マスのX-Y 座標を、 左下が (0,0)、右上が (N-1,N-1) となるようにとると、 N ≡ 1 (mod 3) の時、 残せるマスの座標 (x,y) は、 x ≡ y ≡ 0 (mod 3) N ≡ 2 (mod 3) の時は、x ≡ y ≡ 2 (mod 3) となります。 これからも、常に一定の回転対称のパターンになることが判ります。 もし、興味があれば、この証明が、私の #43769 の後半にあります ので、ご覧ください (場合によっては、一層混乱するかもしれません。 その場合の責任は取りかねますので予めご了承ください)。 あと、余談ですが、私が大昔家庭教師をしていた時に、 AND をとる意味を理解できない生徒が多々いました。 その時には、背理法を使った次のような説明をしていました。 あるパターンがマスに書き込まれた正方形の上に 長方形を置いていき 全部の長方形を最後の 1 マスを 残して置けたとします。 この後、下にあるパターンが書き込まれた正方形だけを 90 度回転させます。 この時の最後の 1 マスが、パターンが書かれた正方形で 置けないマスに移動したなら、矛盾します。 なので、回転 (あるいは、反転) したものとの共通点になります。 実際には、透明な下敷きかビニールに残せそうな場所のマスだけに 印を付けさせて、実演させるのが効果てきめんでした。 また、同時になぜ 180 度や 270 度回転させたものを調べ なくても良いかの説明にもなり、一石二鳥でした。 |
|
10月7日（水） 9:24:38
43770 |