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uchinyan |
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#43758
ボーナス問題さんへ うーむ，残念ながら完全に誤解なさっているようです。 もちろん，その原因は私の稚拙な説明にあるので自業自得なわけですが。 考え方の基本は#43736と同じなのでそれを端折ったのも一因かも知れません。 まず，復習しておきます。 7 * 7 の正方形に書かれた数 1 〜 49 の総和は 1225 で 3 で割って 1 余る数です。 これに長方形をかぶせるとそのマス目の数の和は常に 3 で割って 0 余る数です。 そこで，残る４マスの数の和は 3 で割って 1 余る数になります。 これより，かぎ形の数の和を 3 で割った余り，かぎ形のタイプ，によって残る１マスは絞られます。 ここで注意して欲しいのは，かぎ形と残る数の関係は余りでしか結びついておらず， それらの位置関係には余り以上の何らの制約がないことです。 これに，正方形の対称性により，ある配置と，左右，上下，対角線に対称な配置も許されますが， 得られる配置も余りの条件に従うので，さらに候補が絞られます。ここまでが必要条件です。 (回転対称は軸対称の合成で可能なので省略しています。) そして，それらが実現可能か，という十分条件を示します。 これは実例を一つ示せばいいので，幾つかの可能な配置の１つに言及することになります。 さて，本題です。 ＡＢＢＢＣＣＣ ＡＡＤＤＤＸＥ ＦＦＦＧＧＧＥ ＨＨＨＩＩＩＥ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ この例自体は，かぎ形がタイプ０，X = 13，なので，タイプ０と 13，余りは 0 + 1 = 1，です。 そして，対称性により，次のセットが構成できます。少し詳しく書きます。 タイプ０と 13 <--左右対称--> タイプ１と 9，余りは 1 + 0 = 1，可， タイプ０と 13 <--上下対称--> タイプ２と 41，余りは 2 + 2 = 4 -> 1，可， タイプ０と 13 <--左右＋上下対称--> タイプ３と 37，余りは 0 + 1 = 1，可， 本当は対角線対称がありますが，同様に容易にチェックできるので詳細は省略しています。 タイプ０と 13 <--左上から右下--> タイプ３と 37，余りは 0 + 1 = 1，可， タイプ０と 13 <--右上から左下--> タイプ１と 13，余りは 0 + 1 = 1，可， 実際には，対角線対称で現れるものは，上下，左右，その組み合わせ，から現れるので不要です。 ＞> また，図の対称性よりかぎ形の１つの向きが実現可能なら他の３つの向きも実現可能 ＞４つの向きすべてがセットで実現可能です。 上記の意味での１セットです。 ＞上に示した例からすると、左上の隅にＬ字形のかぎ形を置くことできるので、 ＞それを時計回りに 90 度回転したかぎ形 (「 の角が左上の角に一致) を置くと、 ＞1 マスを残して 15 個の 1x3 の長方形を置くことはできません。 これはおっしゃっている意味がいまひとつ伝わってこないのですが， □□ の意味ならば，これはタイプ２で余り 2 なので 13 と組ませるのは無理です。 □■ この場合は，3 で割って 2 余る数と組むことになりますが， これは必要条件に過ぎないので，実現可能かはまた別の話です。 ちょっと考えた範囲では，17，20，38，41 が候補ですが，長方形の置き方からして無理そう？ なお，上記の， タイプ０と 13 <--上下対称--> タイプ２と 41，余りは 2 + 2 = 4 -> 1，可， は，かぎ形の位置がご指摘，と思われる，位置とは違うので実現可能です。 つまり，セットの意味を完全に誤解なさっています。 ＞つまり、uchinyan さんが #43751 で述べられた必要十分条件というのは、 ＞最終的に残る 1 マスは常にかぎ形を含む 2x2 の正方形の中にあるということのようにに感じます。 というわけで，これは明らかに間違いです。私の解法はもっと一般的です。 ＞また、私の説明 (#43754) を「一応，理解できたと思います」とうことは、 ＞私の説明のどこかに納得できないところがあるということですよね？ ＞できれば、自分としても説明を端折ったところがあるので、判らない部分をご教示いただけないでしょうか？ それなりに解釈してしまったのですが，そうおっしゃるなら。 まず，[400]，[310]，[211]，[220]，の記号の意味です。 例えば，０が４つで [400] ですが，１が４つでも２が４つでも [400] ですよね？ ０と１又は２は個数が違うのですがいいのかな，と。でも，これは本質的ではなさそうです。 ただ，そう思ってしまうと，．．． ＞このことから、a) の {400} はありえません (そもそも、縦 1 列の直線上になるのでかぎ形は置けない)。 ＞また、1x3 の長方形＞を縦に置けば、置かれたマスの数字は同じ数字 3 個。 ＞横に置けば、置かれたマスには必ず 0、1、2 が含まれます。なので、 ＞{400} となる時、残った数字は 0 でしかありえません。 ここまではOK。しかし， ＞同様に、b) の {310} のパターンもありえませんが、最後の 1 マスとは直接関係しません。 [310] のパターンはあるような気がします。例えば，２が３つで０が１つ。 ０１２０ ０１２０ ０１２０ ０１２０ ＢＣＡＡ ＢＣＡＥ ＢＣＸＥ ＤＤＤＥ これで記号の意味が分からなくなりました。まぁ，本筋ではないので無視して 7 * 7 に進むと， ＞15 の長方形を置いた残りのパターンは、やはり、上の a) 〜 d) の 4 通り。 ＞そして、かぎ形のパターンも {210} になるので、0 の列が除外。 「0 の列が除外」の理由がよく分かりません。先ほどの例， ＡＢＢＢＣＣＣ ＡＡＤＤＤＸＥ ＦＦＦＧＧＧＥ ＨＨＨＩＩＩＥ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ 多分このようにＸは０の列には来ない，ということでしょうが，ピンときません。 これは，０が２つ，１が１つ，２が１つ，の [211]，全体を 90°回転すれば [310]，もあります。 これらを使って議論するのでしょうか？ ＞対称性を考えると、田の字の空白の部分だけに、最後の 1 マスが残ることになります。 これは結局は正しいのですが，さすがに端折り過ぎと思われ議論の流れが見えてきません。 最初に余りの話があるので，多分，それと絡めるのだろうと，勝手に解釈しました。 ここらは重要なので，折角導入した記号も使ってもう少しかみ砕いて欲しいです。 ＞注意）残った 4 マスにある数字の数だけに注目しているので、長方形を置いた後、残った 4 マスが連続している必要はありません。 これは当然ですね。 おまけは，最後はプログラムなのですね。実現可能かを調べるにはこれしかないのかな。 らだ．．． ＞2 個の場合は、7x7 の正方形から、かぎ形 2 つでできる 2x3 の長方形をを切り取った形で考えれば、 ＞答えはほぼ自明かと思います。 これはそうでもないと思いますよ。かぎ形が２個で 2 が残る１マスの場合を考えてみてください。 なお，必要条件だけですが，実は，ボーナス問題の場合も，かーちゃんさんの#43738の手法は有力で見通しもいいです。 既にかなり長くなってしまったので省略しますが，ご興味がある方は考えてみてください。 |
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ネコの住む家
10月5日（月） 15:07:42
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