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ボーナス問題 |
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呑み会続きで、返事が遅れました。また、酔った勢いで、同じものを投稿してしまったようで、重ね重ね申し訳有りません。
あめいさん (#43741)、uchiyan (#43751) さん、正解です。少し詰めが甘いようです。また、スモークマンさん (#43744) のような回答も予想はしていました :-) 単純化のため 4x4 マスで考えます。敷き詰める図形が正方形 3 個でできているので、 各マスを 3 色で色分けします。便利なように色を、3 で割った余りの数、0、1、2 で表します。 各マスの座標を (0, 0) から (3, 3) で表し、その X 座標と Y 座標の和を 3 で割った余りの数が、そのマスの色します。そして、それを 90 度回転させたものの 2 つで考えます。 ０１２０ ｜ ０２１０ １２０１ ｜ １０２１ ２０１２ ｜ ２１０２ ０１２０ ｜ ０２１０ すると、0 が 6 個、1 と 2 はそれぞれ 5 個ずつ。また、1x3 の長方形をどのように置いても、その置かれた 3 マスには必ず 0、1、2 が含まれます。 なので、1x3 の長方形 5 個 (元の問題) を敷き詰めると必ず 0 のマスが残ります。左右の図で両方とも 0 になるのは、4 隅の 0 マスだけ。よって、これら 4 つのマスのいずれかを残すことができます。 今年から高齢者さん (#43747)。 なぜ、両方で 0 になるマスだけかというと、もし、左図で四隅以外の 0 のマスが残るように長方形を敷き詰められたとして、その状態で 4x4 の正方形を 90 度回転させると、残りのマスが 元の左図で 0 でないマスの上に来るので、矛盾するためです。 次にボーナス問題ですが、以下のように色分けの方法を少し変えます。 ０１２０ ０１２０ ０１２０ ０１２０ 1x3 の長方形 4 個を置いた後の残ったマスの数字の数を考えます。すると、最後に残る 1 マスの数字は、その残った 4 マスの数字のいずれか。そして、残る数字の組み合わせは、以下の 4 通りのいずれか。 a) ある数字が 4 個。これを {400} と表記 (以下同様) b) ある数字が 3 個、違う数字が 1 個ずつ {310} c) ある数字が 2 個、残る数字が各 1 個ずつ {211} d) ある 2 つの数字が 2 個ずつ {220} ところで、かぎ形は、必ずある数字が 2 個、それとは違う数字が 1 個 {210}。かぎ形を置くと残りは、ある数字が 1 個 {100}。 このことから、a) の {400} はありえません (そもそも、縦 1 列の直線上になるのでかぎ形は置けない)。また、1x3 の長方形を縦に置けば、置かれたマスの数字は同じ数字 3 個。横に置けば、置かれたマスには必ず 0、1、2 が含まれます。なので、{400} となる時、残った数字は 0 でしかありえません。同様に、b) の {310} のパターンもありえませんが、最後の 1 マスとは直接関係しません。 となると、最後の 1 マスは、中央縦 2 列のどこか。対称性を考える (90 度回転させる) と、結果、中央の 2x2 の正方形だけとなり、最終的に残るマスは、その 4 マスのいずれかとなります。 しかし、7x7 の正方形の場合、かぎ形を含む 2x2 の正方形に最後の 1 マスが存在するとは限りません。例えば、以下。A がかぎ形、X が最後の 1 マス。 ＡＢＢＢＣＣＣ ＡＡＤＤＤＸＥ ＦＦＦＧＧＧＥ ＨＨＨＩＩＩＥ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ ＪＫＬＭＮＯＰ なので、4x4 では不十分です。 そこで 7x7 の正方形で同様に考えると、 ０１２０１２０ ０１２０１２０ ０１２０１２０ ０１２０１２０ ０１２０１２０ ０１２０１２０ ０１２０１２０ 15 の長方形を置いた残りのパターンは、やはり、上の a) 〜 d) の 4 通り。そして、かぎ形のパターンも {210} になるので、0 の列が除外。対称性を考えると、田の字の空白の部分だけに、最後の 1 マスが残ることになります。 注意）残った 4 マスにある数字の数だけに注目しているので、長方形を置いた後、残った 4 マスが連続している必要はありません。 さて、問題は、本当に、そのように長方形とかぎ形を置けるかです。7x7 の正方形のある角から、4x4 の正方形を切り出した時、残りの 33 マスは必ず 1x3 の長方形ですべて覆いつくせます。なので、4x4 で考えた時、その中央の 2x2 の正方形にかぎ型を置くことができるので、最後の 1 マスは必ず田の字の空白部分に存在することになります。 おまけ。7x7 の正方形において、2 個以上のかぎ形を使用した場合、3 個の場合を除き、すべてのマスを最後の 1 マスすることができます。3 個の場合、1、4、7、22、28、43、46、49 の 8 ヶ所以外のマスを最後の 1 マスにできます。 |
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10月3日（土） 14:10:26
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