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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，恥ずかしながら，最初は変な所ではまってしまい手こずりました。その後，Aha! でした (^^; こんな感じで。 (解法1) 7 個のサイコロを ア 〜 キ とし，キのサイズが最大とします。すると， ア + イ + ウ + エ + オ + カ = キ * 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36 ここで，7 - 各サイコロの出目 を考えると，和が，6 <---> 36，12 <---> 30，18 <---> 24，で１対１対応になっており， 対応する場合の数は等しいです。そこで，和が 6, 12, 18 を数えて 2 倍すればいいです。 ア + イ + ウ + エ + オ + カ = 6 の場合 明らかに，ア = イ = ウ = エ = オ = カ = 1 の 1 通り。 ア + イ + ウ + エ + オ + カ = 12 の場合 出目が 1 〜 6 を忘れると，12 個のボールを 1 個以上 6 つに分ければいいので， 12 個のボールを並べて隙間に 5 本の仕切りを入れればよく，(12-1)C5 = 11C5 = 462 通り。 しかし，実際には 7 以上の出目はないのでこれを除きます。 これは，7 以上は一つしかあり得ず，それを選ぶのに 6C1 = 6 通り，で， 7 以上から 6 を引いた和 12 - 6 = 6 に関して，6 個のボールを 1 個以上 6 つに分ければいいので，(6-1)C5 = 5C5 = 1 通り， そこで，6 * 1 = 6 通り，です。 これより，この場合は，462 - 6 = 456 通り，です。 ア + イ + ウ + エ + オ + カ = 18 の場合 出目が 1 〜 6 を忘れると，18 個のボールを 1 個以上 6 つに分ければいいので，(18-1)C5 = 17C5 = 6188 通り。 しかし，実際には 7 以上の出目はないのでこれを除きます。 7 以上は一つ又は二つが可能です。ここらがややこしいのですが，結局次のように数えました。 7 以上が一つのときは，一つ選ぶのに 6C1 = 6 通り，で， 7 以上から 6 を引いた和 18 - 6 = 12 に関して，12 個のボールを 1 個以上 6 つに分ければいいので，先ほどの，456 通り，ですが， 先ほどとは違って今 6 を引いた 7 以上だけは 7 になってもいいので，456 + 1 = 457 通り，です。 (この +1 を忘れて頭を抱えておりました。) そこで，このときは，6 * 457 = 2742 通り，です。 7 以上が二つのときは，二つ選ぶのに 6C2 = 15 通り，で， 7 以上から 6 を引いた和 18 - 6 * 2 = 6 に関して，6 個のボールを 1 個以上 6 つに分ければいいので，(6-1)C5 = 5C5 = 1 通り，です。 そこで，このときは，15 * 1 = 15 通り，です。 これより，この場合は，6188 - 2742 - 15 = 3431 通り，です。 以上より，求める場合の数 = (1 + 456 + 3431) * 2 = 3888 * 2 = 7776 通り，になります。 (解法2) ７個のサイコロを ア 〜 キ とし，キのサイズが最大とします。すると， ア + イ + ウ + エ + オ + カ = キ * 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36 ここで，ア 〜 オ がそれぞれ 1 〜 6 を自由に取っても，必ず カ を 1 〜 6 でうまく取って上式を満たすことができます。 そこで，求める場合の数 = 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = 7776 通り，になります。 上でも少し書きましたが，(解法1)で割とスンナリと行ったのですが，+1 に気付かず掲示板には入れず，頭を抱えておりました。 仕方なくプログラムを組んだのですが，その途中で(解法2)に気付き，ガーン．．．しばらく茫然自失でした (^^; その後，(解法1)の +1 に気付いた，という次第です。包除の原理とかを使う方がいいかも知れませんね。 それにしても，(解法2)にはまいった。さすが算チャレ，といった感じですね。 |
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ネコの住む家
8月6日（木） 13:47:42
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