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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは算チャレとしては標準的でしょうか。常連さんには易しめかな。 いろいろな解法があると思います。例えば，こんな感じで。 (解法1) AB の延長上に AD = AC となるように点 D を取り，AP の延長と DC との交点を E とします。 ∠DAC = 60°なので △ADC は正三角形で，AB：AD = AB：AC = 2：3，AB：BD = 2：1，DC = AB = AC，です。 また，P から DC に平行に線を引き AD との交点を I，E から BC に平行な線を引き AD との交点を J，とします。 IP//DC，BI：ID = BP：PC = 4：3，AB：BI：ID = 14：4：3，AP：PE = AI：ID = 18：3 = 6：1，AE = AP * (6 + 1)/6 = 5 * 7/6 = 35/6 cm， JE//BC，AB：BJ = AP：PE = 6：1，AB：BJ：JD = 6：1：2，DE：EC = DJ：JB = 2：1，で， DB = AD * 1/3 = CD * 1/3 = CE，DC = CA，∠CDB = 60°= ∠ACE，△DBC ≡ △CAE，BC = AE = 35/6 cm，になります。 (解法2) △ADC を作るまでは(解法1)と同じ。 ここで，DC の中点を O とし，△ADC を O を中心に 180°回転し D を C に C を D に重ね，A の移動先を F とし， AE の延長と CF との交点を G とします。明らかに，□ADFC はひし形です。さらに，CF//AD，より， △PGC ∽ △PBA，GC：AB = PG：PA = PC：PB = 3：4，GC：CF = GC：AD = GC：(AB * 3/2) = 1：2，G は CF の中点， △EAD ∽ △EGC，EA：EG = ED：EC = AD：GC = CF：GC = 2：1，AP：PE：EG = 12：2：7，AE = AP * (12 + 2)/12 = 5 * 7/6 = 35/6 cm， AC = DA，AB = AD * 2/3 = DC * 2/3 = DE，∠BAC = 60°= ∠ADE，△ABC ≡ △DEA，BC = EA = AE = 35/6 cm，になります。 (解法3) △ABP を 3/2 倍し，A を中心に反時計回りに回転し AB を 3/2 倍したときの B を C に重ね，AP を 3/2 倍したときの P の移動先を Q とします。 さらに，∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°なので，AQ 上に点 R を △APR が正三角形となるように取ります。 PR = AR = AP = 5 cm，AQ = AP * 3/2 = 5 * 3/2 = 15/2 cm，RQ = AQ - AR = 5/2 cm，です。 そして，CP：CQ = PC：(BP * 3/2) = 3：6 = 1：2，RQ：RP = (5/2)：5 = 1：2，CP：CQ = RQ：RP， ∠PCQ = ∠ACP + ∠ACQ = ∠ACP + ∠ABP = 180°- ∠BAC = 120°，∠QRP = 180°- ∠ARP = 120°，∠PCQ = ∠QRP，△CPQ ∽ △RQP，ですが， PQ が共通なので，実は，△CPQ ≡ △RQP，となり，CP = RQ = 5/2 cm，です。 そこで，BC = CP * (4 + 3)/3 = 5/2 * 7/3 = 35/6 cm，になります。 (解法1)は，メネラウスの定理を使えばもう少し記述が簡単になりますが，過去に，メネラウスの定理は算数ではない，というご意見があったので， 補助線を引いて一つずつ記述しておきました。面積比を使う手もありそうです。 (解法2)も，メネラウスの定理を使わずにひし形を作って考える解法です。 (解法3)は，少し違う発想の解法です。 もっとも，いずれの解法でも正三角形がポイントになりますね。 |
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ネコの住む家
7月30日（木） 14:08:28
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