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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，階乗や組み合わせの記号は算数ではない，というご意見もあるかもですが，少なくとも算チャレの掲示板では普通に使われているので認めて頂いて， 算チャレとしては標準的かやや易しめでしょうか。もっとも，世の中的には題意の把握に苦労する子もいると思うし，難しい方でしょう。 大体こんな感じで。 (解法1) (左のタンスの白玉の個数,左のタンスの赤玉の個数,右のタンスの白玉の個数,右のタンスの赤玉の個数) と書くことにします。 左のタンスに玉が 6 個で右のタンスに玉が 1 個の場合 (2,4,1,0) 又は (3,3,0,1) なので， 6C2 * 4C4 * 6C1 * 5C0 + 6C3 * 3C3 * 6C0 * 6C1 = 15 * 1 * 6 * 1 + 20 * 1 * 1 * 6 = 90 + 120 = 210 通り 左のタンスに玉が 5 個で右のタンスに玉が 2 個の場合 (1,4,2,0) 又は (2,3,1,1) 又は (3,2,0,2) なので， 6C1 * 5C4 * 6C2 * 4C0 + 6C2 * 4C3 * 6C1 * 5C1 + 6C3 * 3C2 * 6C0 * 6C2 = 6 * 5 * 15 * 1 + 15 * 4 * 6 * 5 + 20 * 3 * 1 * 15 = 450 + 1800 + 900 = 3150 通り 左のタンスに玉が 4 個で右のタンスに玉が 3 個の場合 (0,4,3,0) 又は (1,3,2,1) 又は (2,2,1,2) 又は (3,1,0,3) なので， 6C0 * 6C4 * 6C3 * 3C0 + 6C1 * 5C3 * 6C2 * 4C1 + 6C2 * 4C2 * 6C1 * 5C2 + 6C3 * 3C1 * 6C0 * 6C3 = 1 * 15 * 20 * 1 + 6 * 10 * 15 * 4 + 15 * 6 * 6 * 10 + 20 * 3 * 1 * 20 = 300 + 3600 + 5400 + 1200 = 10500 通り 左右のタンスは同等とみなすので以上ですべてです。 そこで，210 + 3150 + 10500 = 13860 通り，になります。 (解法2) 左右のタンスに入る白玉の個数に注目します。 左に 3 個で右に 0 個の場合，6C3 * 6C0 = 20 * 1 = 20 通り。 左に 2 個で右に 1 個の場合，6C2 * 6C1 = 15 * 6 = 90 通り。 左右のタンスは同等とみなすので白玉の入り方は以上ですべてで，20 + 90 = 110 通り，です。 赤玉は白玉が入った残りの 6 + 6 - 3 = 9 個所のどこかに入ればいいので，9C4 = 126 通り，です。 そこで，両方では，110 * 126 = 13860 通り，になります。 なお，赤玉に注目してもできますが，赤玉が左右に 2 個ずつ入った場合には重複があるので， (6C4 * 6C0 + 6C3 * 6C1) * 8C3 + 6C2 * 6C2 * 8C3 * 1/2 = (15 + 120) * 56 + 225 * 56 * 1/2 = 7560 + 6300 = 13860 通り としなければならず，注意が必要です。 (解法3) 左右のタンスを同等とみなすのですが，入れる球の総数は 3 + 4 = 7 個 で左右が同数になることはないので， 左右を区別して数え後で半分にすればいいです。 左右を区別すると，引き出しは 6 + 6 = 12 個あり，それらに赤玉 3 個と白玉 4 個を入れればよく，12C3 * 9C4 通り，です。 そこで，求める場合の数はこの半分で，12C3 * 9C4 * 1/2 = 220 * 126 * 1/2 = 13860 通り，になります。 ちなみに，最初に思い付いたのは(解法3)で，検算も兼て地道に(解法1)で解き，その途中で(解法2)に気付きました。 ただし，(解法2)は，既に注意したように，左右で同じにならない白玉を先に計算するのがミソで，少し難しいと思います。 また，もちろん，玉の総数が偶数で左右のパターンが同じになる場合には重複を考慮する必要があります。 その点，この問題は楽でしたね。 |
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ネコの住む家
7月23日（木） 13:25:17
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