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鯨鯢(Keigei) |
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１から６までのカードがｎ枚ずつ(合計6n枚)あって、ｎケタの整数を作るとき、
７の倍数が A(n) 通り作れるとすれば、７の倍数以外は 6^n−A(n) 通りできます。 ７の倍数以外の数を10倍し、１〜６の何れかを加えれば７の倍数となり、 ７の倍数を10倍し、１〜６の何れを加えても７の倍数になりません。 よって、A(n＋1)＝6^n−A(n) になります。 A(1)＝0 より A(2)＝6−0＝6 ，A(3)＝36−6＝30 ，A(4)＝216−30＝186 ，A(5)＝1296−186＝1110 です。 一般的に解けば、 (−1)^(n＋1)・A(n＋1)＝(−1)^n・A(n)−(−6)^n だから、 数列｛(−1)^n・A(n)｝の階差数列の第ｎ項が −(−6)^n になり、 −(−6)^k の k＝1 から k＝n−1 の和をとれば、 6｛1−(−6)^(n−1)｝/｛1−(−6)｝＝｛6＋(−6)^n｝/7 ですので、 n≧2 において、(−1)^n・A(n)＝(−1)^1・A(1)＋｛6＋(−6)^n｝/7＝｛6＋(−6)^n｝/7 、 A(n)＝｛6(−1)^n＋6^n｝/7 になり、この式は A(1)＝0 も満たします。 よって、A(n)＝｛6^n＋6(−1)^n｝/7 です。 もちろん、A(5)＝(6^5−6)/7＝1110 です。 |
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7月16日（木） 14:10:51
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