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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
図を見て問題文を読んで比を考えれば十分と分かったので，やっぱ特殊化だよね，と思いそれであっさりと解けました。 その後，特殊かしない解法も考えましたが，考え方に慣れていないと難しいかも知れません。 もう少しうまくいかないのかな。まぁ，こんな感じで。 (解法1) 射影による特殊化 比を考えれば十分なので特殊化して， □ABEF を AB = FE でその高さが AF に等しい等脚台形， □CBED はそれと合同，とします。 この 六角形ABCDEF を含む平面を水平な平面から B を固定し E を持ち上げて適当に傾け，適当な角度で平行光線を当てて，水平面に射影すれは， 与えられた図のような一般の 六角形ABCDEF が得られます。しかも射影によって比の関係は変化せず，例えば中点は中点に移ります。 そこで，特殊化した六角形で 水色の四角形と全体の六角形との面積比 を求めれば，それがそのまま一般の場合の面積比になります。 特殊化した場合は，斜辺を AF とする直角二等辺三角形の，全体の六角形が 16 倍，水色の四角形が 2 倍，で， 水色の四角形は全体の六角形の 1/8 なので，求める面積は 36 * 1/8 = 9/2 cm^2，になります。 (解法2) 特殊化しない解法 AB，BC，DE，EF のそれぞれの中点を K，L，M，N とし，AM と FL，FL と DK，DK と CN，CN と AM のそれぞれの交点を P，Q，R，S とします。 まず，CD//BE，CD：BE = 1：3，より，CD//LM//BE，CD：LM：BE = 1：2：3，で，AF//LM，AF：LM = 1：2，となって，AP：PM = FP：PL = 1：2，です。 また，BK：KA = BL：LC = 1：1，より，KL//AC，KL：AC = 1：2，で，AF//CD，AF = CD，□ACDF は平行四辺形，AC//FD，AC = FD，より， KL//FD，KL：FD = 1：2，となって，KQ：QD = LQ：QF = 1：2，です。 そこで，FP：PL = 1：2，FQ：QL = 2：1，なので，FP：PQ：QL = 1：1：1，つまり，P，Q は FL を三等分します。 同様にして，Q，R は DK を，R，S は CN を，S，P は AM を，それぞれ三等分します。 次に，BA，EF の延長の交点を G，BC，ED の延長の交点を H，とします。 すると，AF//BE，AF：BE = 1：3，より，GA：GB = GF：GE = 1：3，CD//BE，CD：BE = 1：3，より，HC：HB = HD：HE = 1：3，となって， A，K は GB を，C，L は HB を，D，M は HE を，A，N は GE を，それぞれ三等分します。 これらの三等分と，三角形の高さの比を考えて，次がいえます。 □PQRS = △PQR + △PRS = △RFL * 1/3 + △PCN * 1/3 = (△NFL * 1/3 + △CFL * 2/3)/3 + (△FCN * 2/3 + △LCN * 1/3) * 1/3 = (△LGE * 1/9 + △FBH * 2/9)/3 + (△CGE * 2/9 + △NBH * 1/9) * 1/3 = ((△BGE * 2/3 + △HGE * 1/3) * 1/9 + ((△GBH * 2/3 + △EBH * 1/3) * 2/9) * 1/3 + ((△HGE * 2/3 + △BGE * 1/3) * 2/9 + ((△EBH * 2/3 + △GBH * 1/3) * 1/9) * 1/3 = ((△BGE + △EBH) * 2/27 + △HGE * 1/27 + △GBH * 4/27) * 1/3 + ((△BGE + △EBH) * 2/27 + △HGE * 4/27 + △GBH * 1/27) * 1/3 = ((△BGE + △EBH) * 4/27 + △HGE * 5/27 + △GBH * 5/27) * 1/3 = ((△BGE + △EBH) * 4/27 + (△HGE + △GBH) * 5/27) * 1/3 = (□GBHE * 4/27 + □GBHE * 5/27) * 1/3 = (□GBHE * 1/3) * 1/3 = □GBHE * 1/9 ここで，△GAF：△GBE：□ABEF = 1：9：8，△HCD：△HBE：□CBED = 1：9：8，なので， □GBHE = △GBE + △HBE = □ABEF * 9/8 + □CBED * 9/8 = 六角形ABCDEF * 9/8 となって， □PQRS = □GBHE * 1/9 = 六角形ABCDEF * 9/8 * 1/9 = 六角形ABCDEF * 1/8 この問題では，六角形ABCDEF = 36 cm^2 なので， □PQRS = 36 * 1/8 = 9/2 cm^2 になります。 (解法1)は，特殊化していますが，射影によって比は変化しないことを使って一般化されています。 (解法2)は，三等分と三角形の高さの分割の比を使って一般的に解いていますが，正直言って， △RFL = △NFL * 1/3 + △CFL * 2/3 などは，慣れていないとかなり難しいと思います。 もう少し簡単にできそうな気もするのですが。 算数としては，(解法1)の理論づけができるかどうかは別として， 比を考えればいいので特殊化， が妥当なところでしょうか。 |
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ネコの住む家
7月9日（木） 14:46:28
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