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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，この問題もどこかで類題を解いたような気がします。算チャレだろうか？ まぁ，こんな感じで。 (解法1) ９角形の頂点に反時計回りに 1 〜 9 の番号を付けます。 まず，1 から出る対角線を考え，その対角線が他の対角線で分割されるときの線分の本数を地道に数えます。 対角線が 1-3 の場合，2-4，2-5，2-6，2-7，2-8，2-9 で分割されるので，6 * 1 + 1 = 7 本， 対角線が 1-4 の場合，2-5，2-6，2-7，2-8，2-9 と 3-5，3-6，3-7，3-8，3-9 で分割されるので，5 * 2 + 1 = 11 本， 対角線が 1-5 の場合，2-6，2-7，2-8，2-9 と 3-6，3-7，3-8，3-9 と 4-6，4-7，4-8，4-9 で分割されるので，4 * 3 + 1 = 13 本， 対角線が 1-6 の場合，2-7，2-8，2-9 と 3-7，3-8，3-9 と 4-7，4-8，4-9 と 5-7，5-8，5-9 で分割されるので，3 * 4 + 1 = 13 本， 対角線が 1-7 の場合，2-8，2-9 と 3-8，3-9 と 4-8，4-9 と 5-8，5-9 と 6-8，6-9 で分割されるので，2 * 5 + 1 = 11 本， 対角線が 1-8 の場合，2-9 と 3-9 と 4-9 と 5-9 と 6-9 と 7-9 で分割されるので，1 * 6 + 1 = 7 本， そこで，合計，7 + 11 + 13 + 13 + 11 + 7 = 62 本，です。 これに，辺 1-2 と 1-9 があるので，1 からは全部で，1 + 62 + 1 = 64 本，になります。 これと同様に，頂点が 2 〜 9 も 64 本ずつですが，1 本の線分を 2 回数えてしまうので 2 で割って， 求める線分の本数 = 64 * 9 * 1/2 = 288 本， になります。 (解法2) ９角形の頂点に反時計回りに 1 〜 9 の番号を付けます。 例えば，対角線 1-4 を考えると，対角線 2-6 と 1 点で交わり，線分が 1-4 と 2-6 の両方に 1 本ずつ増えます。 これに，対角線 3-8 を引くと，1-4 と 2-6 のそれぞれに交点が 1 個ずつ増え，線分も 1-4 と 2-6 の両方に 1 本ずつ増えます。 ちなみに，3-8 も 1-4 と 2-6 とで交点が 1 個ずつ増え，線分も 1 本ずつ増えます。 このように，対角線の交点 1 個に対して交点を作る 2 本の対角線に線分が 1 本ずつ増えます。 そして，対角線が閉じるときに線分はもう 1 本ありますが，これは元の対角線の残りです。 さらに，これに辺が加わります。そこで， 求める線分の本数 = 対角線の交点の個数 * 2 + 対角線の本数 + 辺の本数 本， がいえます。 対角線の交点は，９角形の頂点から 4 点を選んで作る四角形 1 個に対して 1 個生じるので 9C4 = 126 個， 一方，対角線の本数 + 辺の本数 は９角形の頂点から 2 点を選べばいいので 9C2 = 36 本，より， 求める線分の本数 = 126 * 2 + 36 = 288 本， になります。 一般の n 角形ならば，(解法1)でもできますが，(解法2)より容易に， 求める線分の本数 = nC4 * 2 + nC2 = n(n-1)(n^2 - 5n + 12)/12 本， ですね。 |
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ネコの住む家
6月18日（木） 12:51:23
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