|
uchinyan |
|
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは類題をたまに見る問題です。今日は久しぶりに少し時間が取れるのでいくつか書いてみます。 これらの解法は円の直径に対する円周角が直角であることを使っています。 これを算数と認めない方もいるかもですが，まぁそれはご容赦願って，こんな感じ。 (解法1) 円の円周を 14 等分し反時計回りに 1 〜 14 と番号を付けこの 14 点からなる正14角形で考えます。 まず，三角形の１点を 1 に固定した場合を考えます。 すると２番目と３番目の点は直径 1-8 の両側になければならず，３番目の点は２番目の点を通る直径に関し 1 と反対側になければなりません。 このことより，２番目の点と３番目の点の入れ替えの重複がないようにすれば，２番目の点は 2 〜 7 と取ることが可能で， ２番目の点が 2 のとき，３番目の点は取れず，0 通り， ２番目の点が 3 のとき，３番目の点は 9 が可能で，1 通り， ２番目の点が 4 のとき，３番目の点は 9, 10 が可能で，2 通り， ２番目の点が 5 のとき，３番目の点は 9, 10, 11 が可能で，3 通り， ２番目の点が 6 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12 が可能で，4 通り， ２番目の点が 7 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12, 13 が可能で，5 通り， そこで，この場合は，0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 通り，です。 次に，最初の点を 1 〜 14 と動かします。 すると，ナイーブには 14 倍ですが，先ほどの，２番目の点が 1 になる場合，３番目の点が 1 になる場合，と 3 回重複して数えているので，3 で割ります。 そこで，求める鋭角三角形は，15 * 14 * 1/3 = 70 通り，になります。 (解法2) (解法1)と同様に１点を固定し２番目の点と３番目の点の取り方を考えると， ３番目の点に対しその点を通る直径の他方の端の点は， ２番目の点が 3 のとき，３番目の点は 9，直径の他方の端の点は 2， ２番目の点が 4 のとき，３番目の点は 9, 10，直径の他方の端の点は 2, 3， ２番目の点が 5 のとき，３番目の点は 9, 10, 11，直径の他方の端の点は 2, 3, 4， ２番目の点が 6 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12，直径の他方の端の点は 2, 3, 4, 5， ２番目の点が 7 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12, 13，直径の他方の端の点は 2, 3, 4, 5, 6， と，必ず最初の点と２番目の点の間にあることが分かります。 そこで，２番目の点と３番目の点の取り方は， 2 〜 7 の 6 個の点から異なる 2 点を選び，小さい方を３番目の反対の点，大きい方を２番目の点，とすればよく，6C2 通り，です。 後は(解法1)と同じで，求める鋭角三角形は，6C2 * 14 * 1/2 = 15 * 14 * 1/3 = 70 通り，になります。 (解法3) (解法1)と同様に 1 〜 14 の点を考えます。 このとき，1 と 直径 1-8 の直径の左側の 1 〜 7 から異なる 3 点を選び真ん中の点を通る直径の反対側の端の点を取り， この点と真ん中以外の 2 点を結べば，どの 2 点も他の点を通る直径の反対側に来るので鋭角三角形になります。 その逆も(解法2)と同様にして示せます。つまり，１対１対応になっています。そこで，7C3 通りです。 8 と 直径 1-8 の右側の 3 点でも同じなので，求める鋭角三角形は，7C3 * 2 = 35 * 2 = 70 通り，になります。 (解法4) 三角形の，最初の点を通る直径とその両端点，２番目の点を通る直径とその両端点，３番目の点を通る直径とその両端点，の 6 点を考え， それらのうち互いがそれら以外の直径の両側にあるように結べば，鋭角三角形が得られます。 これは具体的には一つ置きに結べばいいことが分かります。ただし，一つ置きは 2 通りあります。 直径は全部で 7 本あるので，3 本の直径を選ぶのは 7C3 通りで，これを 2 倍して， 求める鋭角三角形は，7C3 * 2 = 35 * 2 = 70 通り，になります。 なお，一般の正2n角形の場合も，若干の修正は必要ですが，同様に考えられて， 鋭角三角形：n(n-1)(n-2)/3 通り，鈍角三角形：n(n-1)(n-2) 通り，直角三角形：2n(n-1) 通り， になります。 また，一般の正2n-1角形の場合は，(解法3)と(解法4)はちと厳しいですが，(解法1)と(解法2)は同様に考えられて， 鋭角三角形：(2n-1)n(n-1)/6 通り，鈍角三角形：(2n-1)(n-1)(n-2)/2 通り，直角三角形：0 通り， になるようです。 さらに，円周上に無作為に 3 点を取ったときの確率は， 鋭角三角形：1/4，鈍角三角形：3/4，直角三角形：0， です。これもそこそこ知られた結果ですね。 最初に解いたときに， 鈍角三角形の割合が意外と多い，直角三角形は存在するのに確率は 0， という結果を不思議に思ったのを忘れられないです。 |
|
ネコの住む家
6月11日（木） 14:05:33
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 43383 |