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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，久しぶりに解いたという感じがした問題でした。 最初どうするか少し迷いましたが，やはり断面図だよね，というわけで，こんな感じ。 ただ，これでいいと思っていたのですが，書き出してみるとこんがらがって来てしまい，自信がなくなってきました。 平面BCD 及びそれに平行な平面は 6 面ありますが， 上，つまり A，に近い方からその面を見ると， 1 段目，△の小正三角形が 1 個，▽の小正三角形が 0 個，合計 1 個， 2 段目，△の小正三角形が 3 個，▽の小正三角形が 1 個，合計 4 個， 3 段目，△の小正三角形が 6 個，▽の小正三角形が 3 個，合計 9 個， 4 段目，△の小正三角形が 10 個，▽の小正三角形が 6 個，合計 16 個， 5 段目，△の小正三角形が 15 個，▽の小正三角形が 10 個，合計 25 個， 6 段目，△の小正三角形が 21 個，▽の小正三角形が 15 個，合計 36 個， になっています。 ここで，各段の小正三角形の合計個数の分だけ段の上部に切断した部分があるのは間違いないので， 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 個以上の部分があるのは間違いありません。 問題は各段の間がどうなっているかです。 上の段の小三角形が△の場合 下の段の▽とから正八面体が 1 個できるだけで，下の段から見たときと比べて個数は増えません。 上の段の小三角形が▽の場合 下の段とから隙間にひっくり返った正四面体が 1 個でき，下の段から見たときと比べて個数が 1 個増えます。 そこで，上の段の小三角形が▽の分，1 + 3 + 6 + 10 = 20 個，だけ個数が増えます。 これより，切断した部分は，91 + 20 = 111 個，になります。 いろいろあって，掲示板を読むのは少し遅くなりそうです。 n 等分の場合は，同様にして， ((1 + 3 + 6 + … + n(n+1)/2) + (1 + 3 + 6 + … + n(n-1)/2)) + (1 + 3 + 6 + … + (n-1)(n-2)/2) = (1 + 3 + 6 + … + n(n-1)/2) * 3 + n(n+1)/2 - n(n-1)/2 = (n+1)n(n-1)/6 * 3 + 2n/2 = n(n^2 + 1)/2 です。#43210と一致しているので大丈夫かな。 |
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ネコの住む家
4月24日（金） 11:59:47
43215 |