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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
この問題は，簡単とは言えないものの，地道にコツコツ数えればいいですね。 もっとも，もう少しスマートに解けないのかな。 まぁ，一応，こんな感じで。 (解法1) ４人に２回ずつ配るわけですが，１回目と２回目とに分けて考えます。２回目は１回目と異なる数にします。 １回目に同じ数が配られなかった場合 １回目は 4! = 24 通り。これを例えば１２３４として考えます。 １回目の１に対しては２〜４の 3 通り。これを例えば２として考えます。 １回目の２に対して１ならば，1 通り。１回目の２に対して３又は４ならば，それぞれに対して 1 通りずつ。 そこで，この場合は，24 * 3 * (1 + 2) = 216 通り。 １回目に同じ数が１組配られた場合 １回目は 4C3 * 3C1 * 4!/2!1!1! = 144 通り。これを例えば１１２３として考えます。 ２回目で２が１回目の１のいずれかに対するときは 2 通り，それぞれに対して３の配り方で 2 通りずつ，で，2 * 2 = 4 通り。 ２回目で２が１回目の３に対するときは 1 通り，それに対して３の配り方で 3 通り，で，1 * 3 = 3 通り。 そこで，この場合は，144 * (4 + 3) = 1008 通り。 １回目に同じ数が２組配られた場合 １回目は 4C2 * 4!/2!2! = 36 通り。これを例えば１１２２として考えます。 ２回目は３３４４を配るだけなので 4!/2!2! = 6 通り。 そこで，この場合は，36 * 6 = 216 通り。 以上ですべてなので，216 + 1008 + 216 = 1440 通り，になります。 (解法2) 一般に，n 人で 1 〜 n のカードが２枚ずつある場合を a(n) 通り，とします。 すると，明らかに，a(1) = 0，a(2) = 4，です。 a(3) は，全体 6!/2!2!2! 通りから， １人だけ同じ数の 3C1 * 3C1 * a(2) 通り，２人同じ数＝３人とも同じ数の 3! 通り，を引けばいいので， a(3) = 6!/2!2!2! - 3C1 * 3C1 * a(2) - 3! = 90 - 3 * 3 * 4 - 6 = 90 - 36 - 6 = 48 通り a(4) は，全体 8!/2!2!2!2! 通りから， １人だけ同じ数の 4C1 * 4C1 * a(3) 通り，配り方の 2 通りに注意して２人だけ同じ数の 4C2 * 4C2 * 2 * a(2) 通り， ３人同じ数＝４人とも同じ数の 4! 通り，を引けばいいので， a(4) = 8!/2!2!2!2! - 4C1 * 4C1 * a(3) - 4C2 * 4C2 * 2 * a(2) - 4! = 2520 - 4 * 4 * 48 - 6 * 6 * 2 * 4 - 24 = 2520 - 768 - 288 - 24 = 1440 通り 求めるのは a(4) なので，1440 通り，になります。 今日は掲示板を読むのが少し遅くなりそうです。 少し追加。 (解法3) (解法2)の改良版？ さらにちょっとだけ改良。 まず，条件なしの配り方は 8!/2!2!2!2! = 2520 通り。これから条件に合わないものを除きます。 １人だけ同じ数の場合 １人を選ぶのに 4C1 = 4 通り，同じ数を選ぶのに 4C1 = 4 通り， 残りの３人に残りの３つの数を同じ数にならないように配るのに (6C2 - 3) * (4C2 - 2) * 1 = 48 通り，で， この場合は，4 * 4 * 48 = 768 通り。 ２人だけ同じ数の場合 ２人を選ぶのに 4C2 = 6 通り，同じ数を選ぶのに 4C2 = 6 通り，この２つの数を２人に配るのに 2 通り， 残りの２人に残りの２つの数を同じ数にならないように配るのに (4C2 - 2) * 1 = 4 通り，で， この場合は，6 * 6 * 2 * 4 = 288 通り。 ３人が同じ数＝４人とも同じ数の場合 １〜４を４人に配ればいいので 4! = 24 通り。 そこで，求める場合の数は，2520 - 768 - 288 - 24 = 1440 通り，になります。 |
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ネコの住む家
12月12日（金） 11:03:24
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