|
uchinyan |
|
私の数学解法です。
条件を式にして計算するだけという単純な方法ですが，少し工夫をしないと計算が大変になります。 数学の単純な方法でもう少し簡単にできないのかな。 BC の中点を M，EF の中点を N，HI の中点を O とし，∠BAC = 2α，∠EDF = 2β，∠HGI = 2γ，とします。 さらに，BC = EF = HI = 2x とすると，面積の条件より，AM = 4/x，DN = 6/x，GO = 8/x，となり， tanα = x^2/4，tanβ = x^2/6，tanγ = x^2/8 角度の条件より，α + β + γ = 180°/2 = 90°，なので， tan(α + β) = tan(90°- γ) = 1/tanγ，(tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ) * tanγ = 1， (x^2/4 + x^2/6)/(1 - x^2/4 * x^2/6) * x^2/8 = 1，(10x^4)/(24 * 8 - 8x^4) = 1， 10x^4 = 24 * 8 - 8x^4，18x^4 = 24 * 8，x^4 = (16 * 6)/9，x^2 = 4√6/3 これより，三平方の定理を使って， AB^2 = BM^2 + AM^2 = x^2 + 16/x^2 = 4√6/3 + 16/(4√6/3) = 4√6/3 + 2√6 = 10√6/3 DE^2 = EN^2 + DN^2 = x^2 + 36/x^2 = 4√6/3 + 36/(4√6/3) = 4√6/3 + 9√6/2 = 35√6/6 GH^2 = HO^2 + GO^2 = x^2 + 64/x^2 = 4√6/3 + 64/(4√6/3) = 4√6/3 + 8√6 = 28√6/3 ア = a，イ = b，ウ = c，として，面積の条件を使って， a^2 = ((△ABC * 2)/AB)^2 = ((4 * 2)/AB)^2 = 64/AB^2 = 64/(10√6/3) = 16√6/5 b^2 = ((△DEF * 2)/DE)^2 = ((6 * 2)/DE)^2 = 144/DE^2 = 144/(35√6/6) = 144√6/35 c^2 = ((△GHI * 2)/GH)^2 = ((8 * 2)/GH)^2 = 256/GH^2 = 256/(28√6/3) = 32√6/7 ア，イ，ウ を３辺とする三角形の面積を S とすると，ヘロンの公式より， (4S)^2 = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) = (- a^2 + (b + c)^2)(a^2 - (b - c)^2) = - a^4 + 2(b^2 + c^2)a^2 - (b^2 - c^2)^2 = - (16√6/5)^2 + 2(144√6/35 + 32√6/7)(16√6/5) - (144√6/35 - 32√6/7)^2 = - 1536/25 + 2(304√6/35)(16√6/5) - (16√6/35)^2 = - 1536/25 + 58368/175 - 1536/1225 = (- 75264 + 408576 - 1536)/1225 = 331776/1225 S^2 = 20736/1225 = (2^8 * 9^2)/35^2 = (144/35)^2 S = 144/35 つまり，ア，イ，ウ を３辺とする三角形 = 144/35，になります。 |
|
ネコの住む家
11月14日（金） 13:46:35
42644 |