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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，難しかった。 算数では切ったり貼ったりだろうなぁ，と思っていろいろやってみたもののなかなかうまくいかず， 取り敢えず数学で解いてその後に再考。やっとうまくいったようです。こんな感じで。 BC の中点を M，EF の中点を N，HI の中点を O とし，B，M から AC に下ろした垂線の足を P，Q，とします。 △ABC は AB = AC の二等辺三角形なので，△ABM ≡ △ACM，∠AMB = ∠AMC = 90°，です。 さらに，BP//MQ，ア = BP，より，ア：MQ = BP：MQ = CB：CM = 2：1，ア = MQ * 2，です。 ここで，△ABM を A を中心に反時計回りに回転し AB を AC に重ね M の移動先を M' とすると， AC に関して対称な □AMCM' ができ，MM'⊥AC なので MM' と AC の交点は Q に一致し，MM' = MQ * 2 = ア， さらに，∠MAM' = ∠CAM + ∠CAM' = ∠CAM + ∠BAM = ∠BAC = ∠A， ∠MCM' = ∠ACM + ∠ACM' = ∠ACM + ∠ABM = ∠ACB + ∠ABC = 180°- ∠BAC = 180°- ∠A，です。 同様にして，△DEF に対して □DNFN'，△GHI に対して □GOIO'，を作ると， イ = NN'，∠NDN' = ∠D，∠NFN' = 180°- ∠D，ウ = OO'，∠OGO' = ∠G，∠OIO' = 180°- ∠G，がいえます。 ここで，BC = EF = HI，∠A + ∠D + ∠G = 180°，より， CM = CM' = FN = FN' = IO = IO'， ∠MCM' + ∠NFN' + ∠OIO' = (180°- ∠A) + (180°- ∠D) + (180°- ∠G) = 180°* 3 - 180°= 360° に注意して，□AMCM'，□DNFN'，□GOIO' を C，F，I が一点に，M = N'，N = O'，O = M'，となるように集めると， ∠AMC = ∠DN'F = ∠DNF = ∠GO'I = GOI = ∠AM'C = 90°，なので，△ADG ができます。 そして，ア，イ，ウ を３辺とする三角形は △MNO になります。そこでこの面積を求めればいいです。 まず，△ADG = □AMCM' + □DNFN' + □GOIO' = △ABC + △DEF + △GHI = 4 + 6 + 8 = 18 cm^2，です。 さらに，∠MAM' = ∠A，∠NDN' = ∠D，∠OGO' = ∠G，より， △AMO = △ABC * AM/AD * AO/AG = △ABC * AM/(AM + DM) * AO/(AO + GO) = △ABC * AM/(AM + DN) * AM/(AM + GO)， △DNM = △ABC * DN/DG * DM/DA = △ABC * DN/(DN + GN) * DM/(DM + AM) = △ABC * DN/(DN + GO) * DN/(DN + AM)， △GON = △ABC * GO/GA * GN/GD = △ABC * GO/(GO + AO) * GN/(GN + DN) = △ABC * GO/(GO + AM) * GO/(GO + DN)， △MNO = △ABC - △AMO - △DNM - △GON ここで， AM：DN：GO = ((△ABC * 2)/BC)：((△DEF * 2)/EF)：((△GHI * 2)/HI) = △ABC：△DE：△GHI = 4：6：8 = 2：3：4 なので， ア，イ，ウ を３辺とする三角形 = △MNO = △ABC - △AMO - △DNM - △GON = △ABC - △ABC * 2/(2 + 3) * 2/(2 + 4) - △ABC * 3/(3 + 2) * 3/(3 + 4) - △ABC * 4/(4 + 2) * 4/(4 + 3) = △ABC * (1 - 2/15 - 9/35 - 8/21) = △ABC * (1 - 27/35) = △ABC * 8/35 = 18 * 8/35 = 144/35 cm^2 になります。 |
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ネコの住む家
11月13日（木） 15:41:11
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