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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，個人的にはちょっとシャレていて面白いな，と感じた問題でした。 数学的にはフェルマーの小定理をベースにした解法もありますが， 算数としては書き出しても何とかなる点が安心だし，こんな感じで考えるとよさそうです。 1, 27, 40, 20, 10, 5, 29, ..., △, □, ○, ... となっているとします。 まず，この数列に現れる数は，1 から始まることと規則から，1 以上 52 以下の整数です。 (厳密には数学的帰納法でしょうが，算数では，明らか，でいいでしょう。) 次に，○ * 2 を考えると，これは 2 以上 52 * 2 = 104 以下で，やはり規則より， ○ * 2 <= 52 のときは ○ * 2 = □，○ * 2 > 52 のときは ○ * 2 = □ + 53 になっています。そこで，○ * 2 を 53 で割った余りは □ になります。 さらに，○ * 2 * 2 を考えると，○ * 2 * 2 = □ * 2 又は □ * 2 + 53 * 2 ですが， これを 53 で割った余りは □ * 2 を 53 で割った余りに等しく，これは先ほどと同様にして △ になります。 このように 2 を掛けるごとにそれを 53 で割った余りは数列の一つ前の数にズレていきます。 そこで，52 番目の ア に 2 を 50 回掛けたものを 53 で割った余りは 52 番目より 50 番だけ前， すなわち， 52 - 50 = 2 番目の数で，27，になります。 なお，フェルマーの小定理を使った解法としては．．． この数列に現れる数が 1 以上 52 以下の整数であること， 定理より 53 が素数なので，2^52 を 53 で割った余りが 1，規則の計算を逆に辿ること，などによって， 53 番目が 1，52 番目が ア = 2，と分かり，ア * 2^50 = 2 * 2^50 = 2^51 を 53 で割った余りを求めることになり， 再びフェルマーの小定理より (1 + 53)/2 = 27， というような流れになると思います。 もっとも，もちろん算チャレではアリですが，小学生に説明するのは辛そうな気も。 |
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ネコの住む家
10月30日（木） 12:03:25
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