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「数学」小旅行 |
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ベクトルを使ってみました。
ベクトルＡＢの大きさをｂ、ベクトルＡＣの大きさをｃとします。 また、ＡＨ＝ｋＡＤ（kは実数)と表されます。 ベクトルＡＢとベクトルＡＣのなす角は４５°なので、内積はｂｃcos４５°です。 ＡＤ⊥ＢＨから、内積が０より、（k-2)b^2+√2(k-1)bc+kc^2=0 ＢＨの大きさが２より、 (k-2)^2*b^2+√2k(k-2)bc+k^2*c^2=16 ＤＨの大きさが１より、 (k-1)^2(b^2+√2bc+c^2)=4 となりますので、この連立方程式を解くと良いことになります。 手計算では、しんどいので、maximaを使いました。以下の通りです。 /* [wxMaxima: input start ] */ solve([(k-2)*b^2+sqrt(2)*(k-1)*b*c+k*c^2=0, (k-2)^2*b^2+sqrt(2)*k*(k-2)*b*c+k^2*c^2=16, (k-1)^2*(b^2+sqrt(2)*b*c+c^2)=4], [b,c,k]); /* [wxMaxima: input end ] */ (%o1)[[b=-2,c=2^(3/2),k=0],[b=2,c=-2^(3/2),k=0],[b=2*sqrt(5),c=2*sqrt(10),k=4/5],[b=-2*sqrt(5),c= -2*sqrt(10),k=4/5],[b=3*sqrt(10)-sqrt(2)*sqrt(5),c=2*sqrt(5),k=6/5],[b=sqrt(2)*sqrt(5)-3*sqrt(10),c=-2*sqrt(5),k=6/5],[b=2^(3/2),c= -2,k=2],[b=-2^(3/2),c=2,k=2]] となりました。この中で、条件に合致するのは、k=4/5 です。 |
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8月28日（木） 15:47:53
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