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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
こういう問題はいかにややこしくならないように数えるかがポイントですが，じっくり考えれば何とかなるでしょう。 ただ，試験場とかで時間に追われているとミスするだろうな，という気がします。 実際，最初どこで間違えたのか２倍になってしまいました (^^; もう少しうまくできそうな気もしますが，一応，地道に，こんな感じで。 まず，１行目は単に 1 〜 4 が並べばいいので 4! = 24 通り。 ２行目，３行目は１行目のそれぞれの並びに対して同数ずつの場合の数になるので， 以下，１行目を，１２３４，として考えます。 ２行目の最初，１行目の１の下，は１以外なので 3 通り。 このどれでも以下の場合の数は同数なので，これを２として考えます。 すると，１行目の２の下は，１，３，４，のいずれかです。 (1) １行目の２の下が１の場合 ２行目の残りは３と４ですが，１行目の３の下が４なので，２行目は 1 通りに決まります。 このとき，３行目は， １行目が１で２行目が２，１行目が２で２行目が１，の下は３と４の入れ替え， １行目が３で２行目が４，１行目が４で２行目が３，の下は１と２の入れ替え， となって，2 * 2 = 4 通り。 そこで，この場合は，1 * 4 = 4 通り。 (2) １行目の２の下が３の場合 ２行目の残りは１と４ですが，１行目の４の下が１なので，２行目は 1 通りに決まります。 このとき，３行目は， １行目が１で２行目が２の下は３か４ですが， ３の場合は， 上２行の４の位置から１行目が２で２行目が３の下は４に決まり，２行目が１の下は２，と決まり，1 通り。 ４の場合は， １行目が２で２行目が３の下は１，１行目が３の下は２，１行目が４の下は３，と決まり，1 通り， となって，1 + 1 = 2 通り。 そこで，この場合は，1 * 2 = 2 通り。 (3) １行目の２の下が４の場合 (2)と同様に，2 通り。 そこで，２行目の最初が２の場合は，4 + 2 + 2 = 8 通り。 以上より，２行目の最初の 3 通りと１行目の 24 通りを掛けて， 24 * 3 * 8 = 576 通り になります。 もう少し考えてみました。こうする方が簡単そうです。 ３行しかないので，右端の１列は，どれか１つの数字が抜け残り３つの数字が並びます。 これは 4 * 3 * 2 = 24 通りで，どの数字が抜けても左の３行３列の場合の数は同じです。 そこで，１が右端１列で抜けるとすると，左の３行３列での１の並びは 3 * 2 * 1 = 6 通り。 そのそれぞれの並びごとに，各行の，１と右端の数字以外の数字の並びは，例えば， １□□４ □１□３ □□１２ の□を埋めればいいので， １２３４ １２３４ １２３４ １３２４ ２１４３ ２１４３ ４１２３ ２１４３ ３４１２ ４３１２ ３４１２ ３４１２ の 4 通り。 以上ですべてなので，24 * 6 * 4 = 576 通り，になります。 今ふと思い出したのですが，いつかは忘れましたが，類題がJMOの予選にあったような気がしてきました。 |
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ネコの住む家
6月26日（木） 14:37:32
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