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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，倍数の関係でも解けますが，数学っぽくなるので，算数としては虫食い算的に解く方がいいのかなぁ。 こんな感じで。 アイウエは４桁の整数なので，アは 1 〜 9 の整数，イ，ウ，エは 0 〜 9 の整数，です。 さらに，□を正の整数として， エウイア = アイウエ * □ と書けます。このことと，ア ≠ エ，なので，□は 2 〜 9 の整数で，ア = 1 〜 4 です。 ア = 1 の場合 □ = 2 〜 9 となり，下１桁目から，(□,エ) = (3,7)，(7,3)，(9,9)，です。 しかし，４桁目から，□ = 9，エ = 9，しかありえません。 つまり，9ウイ1 = 1イウ9 * 9，です。 後は，イ = 0, 1 で，簡単な試行錯誤で，9801 = 1089 * 9，だけと分かり，アイウエ = 1089，です。 最小の数を求めるのでこれで十分ですが，一応，他も調べると．．． ア = 2 の場合 □ = 2 〜 4 となり，下１桁目から，(□,エ) = (2,1)，(2,6)，(3,4)，(4,3)，(4,8)，です。 しかし，４桁目から，□ = 4，エ = 8，しかありえません。 つまり，8ウイ2 = 2イウ8 * 4，です。 後は，イ = 0, 1, 2 で，簡単な試行錯誤で，8712 = 2178 * 4，だけと分かり，アイウエ = 2178，です。 ア = 3 の場合 □ = 2, 3 となり，下１桁目から，(□,エ) = (3,1)，です。 しかし，４桁目から，これはありえません。 ア = 4 の場合 □ = 2 となり，下１桁目から，(□,エ) = (2,2)，(2,7)，です。 しかし，４桁目から，これはありえません。 以上ですべてなので，アイウエ = 1089 又は 2178 で，最小の数は，1089，になります。 より数学的に最小の数を求めるには，こんな感じでもいいでしょう。 エウイア + アイウエ = 1001 * (エ + ア) + 110 * (ウ + イ) = 11 の倍数 エウイア - アイウエ = 999 * (エ - ア) + 90 * (ウ - イ) = 9 の倍数 エウイア = アイウエ * □，ア ≠ エ，□ = 2 〜 9 エウイア + アイウエ = (□ + 1) * アイウエ = 11 の倍数 エウイア - アイウエ = (□ - 1) * アイウエ = 9 の倍数 なので，アイウエ は 33 の倍数，です。 そこで，４桁の最初の 33 の倍数が 990 + 33 = 1023 であることから， 1023 は NG，1056 は NG，1089 は OK，となって，答えは 1089 になります。 ただ，これだけでは，2178 の方を求め他に無いことを示すには，もう一工夫必要そうですね。 |
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ネコの住む家
5月22日（木） 12:53:26
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