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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは簡単でしたね。こんな感じで。 15 個の和それぞれを 15 で割った余りがすべて異なるので 0 〜 14 がすべて現れることになります。 ここで，特に 0 に注目し，ア + イ + ウ + エ 以外の和でで 0 になったとすると， その和に含まれていない数の余りとその数を和に加えた和の余りが等しくなり題意を満たしません。 そこで，0 は ア + イ + ウ + エ の余りでなければなりません。つまり，ア + イ + ウ + エ は 15 の倍数です。 エ が 15 以下なので，ア + イ + ウ + エ は最大でも 12 + 13 + 14 + 15 = 54 となり，最大の 15 の倍数は 45 です。 後はこうなる ア，イ，ウ，エ が存在するかですが，エ = 15 はダメなので， 仮に，11，12，13，14 としてみると 11 + 12 + 13 + 14 = 50 となって 50 - 45 = 5 だけ多いので， 5 減らすようにいろいろとやってみると，7，11，13，14 でビンゴ！ そこで，答えは 45 になります。 算数ではこんな感じで最後はいろいろやってみるのが自然かな，と思いますが， 数学としては次のようにするのもいいでしょう。 余りを 0 〜 14 ではなく -1 〜 -15 と考えます。 すると，1 〜 15 は２進数の原理により 1，2，4，8 の最小の数で実現可能なので， -1 〜 -15 は -1，-2，-4，-8 で実現可能です。 そこで，15 に対して余りが -1，-2，-4，-8 となる数 14，13，11，7 をもってくれば， 余りが -1 〜 -15 つまり 0 〜 14 と最大の数で実現することができます。 このとき，ア + イ + ウ + エ = 7 + 11 + 13 + 14 = 45 になり，これが最大になります。 |
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ネコの住む家
4月17日（木） 12:48:09
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