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ma-mu-ta |
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皆さんの書き込みで、規則性が気になったのでいくつか描いてみました。
だめなところにチェックを入れては次に多く取れる斜めの並びに○を置くということを繰り返してできた図です。 https://dl.dropboxusercontent.com/u/12482898/challe864-2.png Jママさんに合わせて、正方形の対角線上の格子点の個数をnとしています。 n＝2 2＋1＝3 n＝3 3＋2＋1＝6 n＝4 4＋3＋2＝9 n＝5 5＋4＋3＝12 n＝6 6＋5＋4＋1＝16 n＝7 7＋6＋5＋2＋1＝21 n＝8 8＋7＋6＋3＝24 n＝9 9＋8＋7＋4＋1＝29 n＝10 10＋9＋8＋5＋2＝34 n＝11 11＋10＋9＋6＋3＝39 n＝12 12＋11＋10＋7＋4＋1＝45 n＝13 13＋12＋11＋8＋5＋2＋1＝52 n＝14 14＋13＋12＋9＋6＋1＝55 結果的にJママさんの図と同じようなことになりましたが、A1＝6，a1＝4で固定した方がいいように思います。 （仰るように n＝8，n＝11で A1＝4，a1＝6 とすると、6×7や7×6の長方形ができます。） そうすると、n＝3，6，9で新たな斜めの列が加わって規則的に増えていきますが、 n＝7，n＝13では変則的に右上の角に1個○がつくことになります。 ここいらがすっきりとした規則性にならないところでしょう。 uchinyanさんが仰るように、規則性の発見と最大個数の証明は別問題で、これも難しい。。。 スモークマンさんご紹介の整数列大辞典には、a(7)はMathematical Gems III （MAA刊行）に パズルとして紹介（提示）されたとありますが、それも宜なるかな、です。 （追記）n＝14の57は間違っているようです。 今時間がないので、遅くなるかもしれませんが後でやり直してみます。 （追記2） n＝14は55のようです。上の記載を訂正させていただきました。 n＝12，13，14の左下隅の部分に(＋1)，(＋2)，(＋1)が変則的に出てくるようです。 整数列大辞典に記載されている数列がn＝13で終わっているのはこの変則性の故であろうかと思います。 |
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11月24日（日） 2:51:42
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