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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
いろいろ考えられてなかなか面白いですが，どれも少し数学っぽくなってしまいますね。 算数としては，(解法1)で地道に頑張るか，(解法2)の説明を工夫するか，(解法3)，かな。 (解法1) 二項定理。バリバリの数学。ただし，実際に計算すれば算数。 n が偶数の場合， (n 桁で 1 が偶数回) = nC0 * 2^n + nC2 * 2^(n-2) + … + nCn * 2^0 (n 桁で 1 が奇数回) = nC1 * 2^(n-1) + nC3 * 2^(n-3) + … + nC(n-1) * 2^1 (n 桁で 1 が偶数回) - (n 桁で 1 が奇数回) = (nC0 * 2^n + nC2 * 2^(n-2) + … + nCn * 2^0) - (nC1 * 2^(n-1) + nC3 * 2^(n-3) + … + nC(n-1) * 2^1) = nC0 * 2^n * (-1)^0 + nC1 * 2^(n-1) * (-1)^1 + nC2 * 2^(n-2) * (-1)^2 + nC3 * 2^(n-3) * (-1)^3 + … + nC(n-1) * 2^1 * (-1)^(n-1) + nCn * 2^0 * (-1)^n = (2 - 1)^n = 1^n = 1 n が奇数の場合， (n 桁で 1 が偶数回) = nC0 * 2^n + nC2 * 2^(n-2) + … + nC(n-1) * 2^1 (n 桁で 1 が奇数回) = nC1 * 2^(n-1) + nC3 * 2^(n-3) + … + nCn * 2^0 (n 桁で 1 が偶数回) - (n 桁で 1 が奇数回) = (nC0 * 2^n + nC2 * 2^(n-2) + … + nC(n-1) * 2^1) - (nC1 * 2^(n-1) + nC3 * 2^(n-3) + … + nCn * 2^0) = nC0 * 2^n * (-1)^0 + nC1 * 2^(n-1) * (-1)^1 + nC2 * 2^(n-2) * (-1)^2 + nC3 * 2^(n-3) * (-1)^3 + … + nC(n-1) * 2^1 * (-1)^(n-1) + nCn * 2^0 * (-1)^n = (2 - 1)^n = 1^n = 1 結局，n が偶数でも奇数でも，差は 1，ですね。 この問題では n = 10 ですが，当然，1 です。 なお，(解法1)で算数としては，n = 10 の場合を実際に計算して， イ = (10 桁で 1 が偶数回) = 10C0 * 2^10 + 10C2 * 2^8 + 10C4 * 2^6 + 10C6 * 2^4 + 10C8 * 2^2 + 10C10 * 2^0 = 1 * 1024 + 45 * 256 + 210 * 64 + 210 * 16 + 45 * 4 + 1 * 1 = 1024 + 11520 + 13440 + 3360 + 180 + 1 = 29525 ア = (10 桁で 1 が奇数回) = 10C1 * 2^9 + 10C3 * 2^7 + 10C5 * 2^5 + 10C7 * 2^3 + 10C9 * 2^1 = 10 * 512 + 120 * 128 + 252 * 32 + 120 * 8 + 10 * 2 = 5120 + 15360 + 8064 + 960 + 20 = 29524 (ア と イ の差) = イ - ア = 29525 - 29524 = 1 になります。 (解法2) 漸化式。説明次第で算数かな。 n 桁の場合を基にして n+1 桁の場合を考えると， (n+1 桁で 1 が奇数回) = (n 桁で 1 が奇数回) * 2 + (n 桁で 1 が偶数回) * 1 (n+1 桁で 1 が偶数回) = (n 桁で 1 が奇数回) * 1 + (n 桁で 1 が偶数回) * 2 ただし，(1 桁で 1 が奇数回) = 1，(1 桁で 1 が偶数回) = 2，です。 そこで， (n+1 桁で 1 が偶数回) - (n+1 桁で 1 が奇数回) = (n 桁で 1 が偶数回) - (n 桁で 1 が奇数回) = … = (1 桁で 1 が偶数回) - (1 桁で 1 が奇数回) = 2 - 1 = 1 これより， (ア と イ の差) = (10 桁で 1 が偶数回) - (10 桁で 1 が奇数回) = 1 になります。 (解法3) １：１対応。多分，一応は算数。 n 桁の場合で，下 n-1 桁が同じで n 桁目だけが 1 と 2 と異なる二つの数は， 1 の回数の偶奇性が異なり，１：１に対応するので同数個あり，個数の差を取ると，打ち消し合って 0 になります。 したがって，n 桁目が 3 の数だけが残ります。 この残った数に対して，今度は，下 n-2 桁が同じで n-1 桁目だけが 1 と 2 と異なる二つの数は， 1 の回数の偶奇性が異なり，１：１に対応するので同数個あり，個数の差を取ると，打ち消し合って 0 になります。 したがって，n-1 桁目が 3 の数だけが残ります。 ここまでで，n 桁目が 3，n-1 桁目が 3，の数だけが残っています。 この操作を 1 桁目まで繰り返すと，各桁がすべて 3 の 333…333 という n 桁の数だけが残ります。 これは 1 の回数が 0 個なので，結局， (n 桁で 1 が偶数回) - (n 桁で 1 が奇数回) = 1 です。 この問題では n = 10 ですが，当然，1 になります。 (解法3)の１：１対応は 1 と 3 でもよく，その場合は 222…222 という n 桁の数だけが残りますが， 個数の差は同じで，やはり 1 です。 |
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ネコの住む家
1月17日（木） 13:13:57
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