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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
久しぶりの展開図による立体の問題。如何にイメージしやすい立体に埋め込んで解くかですね。 こんな感じで。なお，図がないと説明がしづらいので，簡単に記述します。 (以下，内容は同じですが，一部の表現を変えました。) (解法1) 一辺 4 の正四角すいに埋め込んで考えます。ただし，以下では比を考えるので一辺 1 の正四角すいの辺や高さを単位として計算します。 すると，正四角すいの体積は，4 * 4 * 4 * 1/3 = 64/3，です。 そして，展開図を組み上げた立体は，正四角すいの底面の正方形の半分を底面とする屋根型を二つ除いたもので，体積は， 64/3 - (2 * 2 * 1/2 * 2 + 2 * 2 * 2 * 1/3) * 2 = 64/3 - 40/3 = 8 です。 一方，切断した部分は，展開図を組み上げた立体から，大きさの違う屋根型を引いたり足したりしたもので，その体積は， 8 - ((3 * 3 * 1/2 * 1 + 3 * 3 * 3 * 1/3) - (2 * 2 * 1/2 * 2 + 2 * 2 * 2 * 1/3) - (1 * 1 * 1/2 * 3 + 1 * 1 * 1 * 1/3)) = 8 - (27/2 - 20/3 - 11/6) = 8 - 5 = 3 これより， 求める体積 = 54 * 3/8 = 81/4 cm^3 になります。 (解法2) 一辺 4 の正四面体に埋め込んで考えます。ただし，以下では比を考えるので一辺 1 の正四面体の辺や高さを単位として計算します。 すると，正四面体の体積は，4 * 4 * 1/2 * 4 * 1/3 = 32/3，です。 そして，展開図を組み上げた立体は，一辺 2 の正四面体を二つ除いたもので，体積は， 32/3 - (2 * 2 * 1/2 * 2 * 1/3) * 2 = 32/3 - 8/3 = 8 です。 一方，切断した部分は，一辺 3 の正四面体から，一辺 2 の正四面体と一辺 1 の正四面体を引いたもので，その体積は， (3 * 3 * 1/2 * 3 * 1/3) - (2 * 2 * 1/2 * 2 * 1/3) - (1 * 1 * 1/2 * 1 * 1/3) = 9/2 - 4/3 - 1/6 = 18/6 = 3 これより， 求める体積 = 54 * 3/8 = 81/4 cm^3 になります。 |
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ネコの住む家
12月7日（金） 12:39:18
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