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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，一週間ぶりなので勘が鈍っているのか難しいです。数学と，何とか，算数で。 (解法1) 数学 P から BC の延長に垂線を下ろしその足を H，AD の延長と PH の交点を E，AD と PB の交点を F，PR の延長と BC の交点を S，とします。 ∠SPH = ∠SDC = ∠CAD = ∠ACB なので，△PDE ∽ △PSH ∽ △CAB，PE：DE = PH：SH = BC：AB，です。 一方で，△BFA，△PFE，△PBH は直角二等辺三角形なので，PE = FE，PH = BH，です。 そこで，これらを使うと， BH = AE = AD + DE = BC + PE * DE/PE = BC + FE * AB/BC = BC + (AE - AF) * AB/BC = BC + (BH - AB) * AB/BC (BC - AB) * BH = BC^2 - AB^2 = (BC - AB)(BC + AB)，BH = BC + AB △PBH は直角二等辺三角形なので， (BC + AB)^2 = BH^2 = PB を対角線とする正方形 = BP^2/2 = 8^2/2 = 32，AB + BC = 4√2 AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC = 32 ここで，三平方の定理より，AB^2 + BC^2 = 5^2 = 25，なので， 25 + 2 * AB * BC = 32，AB * BC = 7/2 これより，AB，BC は２次方程式 x^2 - 4√2 * x + 7/2 = 0 の解で，図より大小関係に注意して， AB = √2/2，BC = 7√2/2 そこで，BP は ∠ABC の二等分線なので， AQ：CQ = AB：BC = (√2/2)：(7√2/2) = 1：7，AQ = AC * 1/8 = 5/8 になります。 途中から数学になってしまうのが残念。何とかならないかしばし考えたのですが，うまくいかず。 仕方がないので，完全に方向転換して，5，8 = 4 * 2 から 3：4：5 が使えないかと考えて得たのが次の解法です。 (解法2) 多分，何とか，算数 BP の中点を M，AC と BD の交点を O とします。O は AC，BD の中点です。 中点連結定理より，MO//PD，∠QMO = ∠ARP = 90°です。 ここで， ∠OMB = ∠RPQ = (∠QAB + ∠QBA) - ∠QRP = (90°- ∠CAD + ∠QBA) - 90°= ∠PBC - ∠CAD = ∠PBC- ∠OBC = ∠OBM なので，△OBM は OB = OM の二等辺三角形で，O から BM に下ろした垂線の足を H とすると， OM = OB = BD/2 = AC/2 = 5/2，BH = MH = BM/2 = BP/4 = 8/4 = 2，∠OHB = ∠OHM = 90° より，△OHB，△OHM は合同でともに 3：4：5 の直角三角形になります。 そこで，△QOM ∽ △OHM なので，△QOM も 3：4：5 の直角三角形になり， QO：OM：MQ = 3：4：5，QO：(5/2) = 3：4，QO = 15/8，AQ = AO - QO = 5/2 - 15/8 = 5/8 になります。 |
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ネコの住む家
11月22日（木） 13:23:21
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