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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，すごく難しかった。 最初，算数で考えても分からず。 仕方がないので三角関数でトライするも，すごい式がでてきて「こりゃダメだ」と思ったものの，ちょっとしたきっかけで解けました。 その後，算数で再度トライ。三角関数の解法がある意味ヒントになって，かなりの時間を費やしましたが，何とか。 今回は，数学も含めて，苦戦の履歴を書いておきます (^^; (解法1) 三平方の定理＋三角関数 BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取り，A から BD に垂線を下ろしその足を H とします。。 明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので， A を中心に △ACP を反時計回りに回転し AC を AD に重ねると，△ACP は △ADQ に重なります。 これより，AP = AQ，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD，△APQ ∽ △ACD がいえ，k > 0，a > 0 として， AP = AQ = 5k，PQ = 6k，PH = QH = 3k，AH = 4k，BP = a，BH = a + 3k，BQ = a + 6k = DQ = CP，DH = a + 9k，PD = a + 12k がいえます。そこで，三平方の定理より， AB^2 = AH^2 + BH^2 = (4k)^2 + (a + 3k)^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 一方で，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD = 2α とすれば， cosα = 4/5，sinα = 3/5，cos(2α) = 2(cosα)^2 - 1 = 7/25 さらに，BP = BR = a，BM = MC なので，中点連結定理より，RC = PM * 2 = 4 cm がいえ， △PCR に余弦定理を使って， PR^2 + PC^2 - 2 * PR * PC * cos(2α) = RC^2 a^2 + (a + 6k)^2 - 2a(a + 6k) * 7/25 = 4^2 2a^2 + 12ak + 36k^2 - 14a(a + 6k)/25 = 16 a^2 + 6ak + 18k^2 - 7a(a + 6k)/25 = 8 25a^2 + 150ak + 450k^2 - 7a^2 - 42ak = 200 18a^2 + 108ak + 450k^2 = 200 9a^2 + 54ak + 225k^2 = 100 そこで， AB^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 = (9a^2 + 54ak + 225k^2)/9 = 100/9 AB = 10/3 cm になります。 (解法2) 何とか算数 (解法1)の回転を少し変えたらできました！ BD の中点を Q とします。 明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので， A を中心に △ADQ を時計回りに回転し AD を AC に重ねると，△ADQ は △ACP に重なります。 そこで，改めて，△ABD を A を中心に時計回りに回転し AD を AC に重ね，B の移動先を E とします。 明らかに，∠EAB = ∠CAD，AE = AB なので，△AEB ∽ △ACD，です。 さらに，CE = BD = CP * 2，CB = CM * 2 なので，中点連結定理より，EB = PM * 2 = 4 cm，です。 そこで，△AEB ∽ △ACD より，AB：EB = AC：CD，AB：4 = 5：6，AB = 10/3 cm，になります。 分かってしまえば，恐ろしく簡単ですね。でも，苦労した．．． |
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ネコの住む家
10月11日（木） 16:39:27
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