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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
前回のように何かうまい解法がありそう，ですが，取り敢えず，地道に考えました。 すぐに思い付く解法としては，次の二つがありそうに思います。 (解法1) 最後に何が残るかに注目します。 4 が残る場合： 5，3，2，1 をどの順番に取ってもいいので，4! = 24 通り。 3 が残る場合： 5 は 4 を取ってからでないと取れません。 最初に 4 を取るとき，5，2，1 をどの順番に取ってもいいので，3! 通り。 最初に 2 を取るとき， 次に 4 を取れば，5，1 をどの順番に取ってもいいので，2! 通り， 次に 1 を取れば，4，5 の順番に取るしかないので，1 通り。 最初に 1 を取るとき， 次に 4 を取れば，5，2 をどの順番に取ってもいいので，2! 通り， 次に 2 を取れば，4，5 の順番に取るしかないので，1 通り。 結局，合計 3! + (2! + 1) * 2 = 12 通り。 2 が残る場合： 5 は 4，3 を取ってからでないと取れません。 最初に 4 を取るとき， 次に 3 を取れば，5，1 をどの順番に取ってもいいので，2! 通り， 次に 1 を取れば，3，5 の順番に取るしかないので，1 通り。 最初に 3 を取るとき， 次に 4 を取れば，5，1 をどの順番に取ってもいいので，2! 通り， 次に 1 を取れば，4，5 の順番に取るしかないので，1 通り。 最初に 1 を取るとき，4，3 をどの順番に取ってもよくその後で 5 を取るので，2! 通り。 結局，合計 (2! + 1) * 2 + 2! = 8 通り。 1 が残る場合： 5 は 4，3，2 を取ってからでないと取れません。 そこで，4，3，2 をどの順番に取ってもよくその後で 5 を取るので，3! = 6 通り。 以上ですべてなので， 24 + 12 + 8 + 6 = 50 通り になります。 (解法2) 何回目に 5 を取るかに注目します。 １回目に 5 を取る場合： 4 を残すしかなく，3，2，1 をどの順番に取ってもいいので，3! = 6 通り。 ２回目に 5 を取る場合： １回目に 4 〜 1 のいずれかを取るのに 4 通り，３回目以降は左端以外をどの順番に取ってもいいので，2! = 2 通り， 結局，4 * 2 = 8 通り。 ３回目に 5 を取る場合： ２回目までに 4 〜 1 のいずれか二つを取るのに 4 * 3 = 12 通り，４回目は右端を取るので，1 通り， 結局，12 * 1 = 12 通り。 ４回目に 5 を取る場合： ３回目までに 4 〜 1 のいずれか三つを取るのに 4 * 3 * 2 = 24 通り，これで終わりなので， 結局，24 通り。 以上ですべてなので， 6 + 8 + 12 + 24 = 50 通り になります。 (解法1)，(解法2)ともに規則性は見えるのですが，こうして比べる限りでは，(解法2)の方が分かりやすく， 4!/4 + 4!/3 + 4!/2 + 4!/1 と書けるのも，式の上でも，意味的にも，ほとんど明らかで，一般化も見えてきますね。 もっとも，一般にこの式をまとまった形で書くのは難しそうですが。 |
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ネコの住む家
10月4日（木） 12:39:59
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