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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，地道に数えれば何とかなる問題でした。また，その数え方も幾つかありそうです。 もっと簡単な解法はあるのかな？ (解法1) ア = 1 の場合，エ = 4 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6 通りで，36 通り。 ア = 2 の場合，エ = 5 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 通りで，30 通り。 ア = 3 の場合，エ = 6 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3，4，4，5 通りで，25 通り。 ア = 4 の場合，エ = 7 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3，4，4 通りで，20 通り。 ア = 5 の場合，エ = 8 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3，4 通りで，16 通り。 ア = 6 の場合，エ = 9 〜 14 に対して 1，1，2，2，3，3 通りで，12 通り。 ア = 7 の場合，エ = 10 〜 14 に対して 1，1，2，2，3 通りで，9 通り。 ア = 8 の場合，エ = 11 〜 14 に対して 1，1，2，2 通りで，6 通り。 ア = 9 の場合，エ = 12 〜 14 に対して 1，1，2 通りで，4 通り。 ア = 10 の場合，エ = 13 〜 14 に対して 1，1 通りで，2 通り。 ア = 11 の場合，エ = 14 に対して 1 通りで，1 通り。 以上ですべてなので，合計して 161 通り。 (解法2) ア + エ = イ + ウ を イ - ア = エ - ウ と見れば， イ - ア = 1 の場合，ア = 1 〜 11 に対して 11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 通りで，66 通り。 イ - ア = 2 の場合，ア = 1 〜 9 に対して 9，8，7，6，5，4，3，2，1 通りで，45 通り。 イ - ア = 3 の場合，ア = 1 〜 7 に対して 7，6，5，4，3，2，1 通りで，28 通り。 イ - ア = 4 の場合，ア = 1 〜 5 に対して 5，4，3，2，1 通りで，15 通り。 イ - ア = 5 の場合，ア = 1 〜 3 に対して 3，2，1 通りで，6 通り。 イ - ア = 6 の場合，ア = 1 に対して 1 通りで，1 通り。 以上ですべてなので，合計して 161 通り。 これは，イ - ア = ○ の場合は，○ + 1 〜 14 - ○ の 14 - ○ * 2 個のものから 2 個選んで， 小さい方をイ，大きい方をウ，として (14 - ○ * 2)C2 通り，とも考えられます。 そうすれば， 12C2 + 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 66 + 45 + 28 + 16 + 6 + 1 = 161 通り としてもいいですね。 まぁ，最初の方が楽そうな気もするけれど。 (解法3) エ - ア で分類すれば， エ - ア = 3 の場合，ア = 1 〜 11 に対して ウ - イ = 1 で 11 * 1 = 11 通り。 エ - ア = 4 の場合，ア = 1 〜 10 に対して ウ - イ = 1 で 10 * 1 = 10 通り。 エ - ア = 5 の場合，ア = 1 〜 9 に対して ウ - イ = 1，2 で 9 * 2 = 18 通り。 エ - ア = 6 の場合，ア = 1 〜 8 に対して ウ - イ = 1，2 で 8 * 2 = 16 通り。 エ - ア = 7 の場合，ア = 1 〜 7 に対して ウ - イ = 1，2，3 で 7 * 3 = 21 通り。 エ - ア = 8 の場合，ア = 1 〜 6 に対して ウ - イ = 1，2，3 で 6 * 3 = 18 通り。 エ - ア = 9 の場合，ア = 1 〜 5 に対して ウ - イ = 1，2，3，4 で 5 * 4 = 20 通り。 エ - ア = 10 の場合，ア = 1 〜 4 に対して ウ - イ = 1，2，3，4 で 4 * 4 = 16 通り。 エ - ア = 11 の場合，ア = 1 〜 3 に対して ウ - イ = 1，2，3，4，5 で 3 * 5 = 15 通り。 エ - ア = 12 の場合，ア = 1 〜 2 に対して ウ - イ = 1，2，3，4，5 で 2 * 5 = 10 通り。 エ - ア = 13 の場合，ア = 1 に対して ウ - イ = 1，2，3，4，5，6 で 1 * 6 = 6 通り。 以上ですべてなので，合計して 161 通り。 これらの中では(解法2)が一番楽かなぁ。 規則性も明確なので 1 〜 n の一般化も容易ですね。 n = 偶数 の場合 Σ[i=1,n/2-1]{Σ[j=1,n-2i-1}{j}} = Σ[i=1,n/2-1]{(n-2i-1)(n-2i)/2} = (n(n-1) * (n/2-1) - 2(2n-1) * (n/2-1)(n/2)/2 + 4 * (n/2-1)(n/2)(2(n/2)-1)/6)/2 = (n(n-1)(n-2)/2 - n(n-2)(2n-1)/4 + n(n-1)(n-2)/6)/2 = (6n(n-1)(n-2) - 3n(n-2)(2n-1) + 2n(n-1)(n-2))/24 = n(n-2)(2n-5)/24 通り n = 奇数 の場合 Σ[i=1,(n-1)/2-1]{Σ[j=1,n-2i-1}{j}} = Σ[i=1,(n-1)/2-1]{(n-2i-1)(n-2i)/2} = (n(n-1) * ((n-1)/2-1) - 2(2n-1) * ((n-1)/2-1)((n-1)/2)/2 + 4 * ((n-1)/2-1)((n-1)/2)(2((n-1)/2)-1)/6)/2 = (n(n-1)(n-3)/2 - (n-1)(n-3)(2n-1)/4 + (n-1)(n-2)(n-3)/6)/2 = (6n(n-1)(n-3) - 3(n-1)(n-3)(2n-1) + 2(n-1)(n-2)(n-3))/24 = (n-1)(n-3)(2n-1)/24 通り |
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ネコの住む家
10月1日（月） 14:22:56
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