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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。こんな感じで。 (解法1) まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。 A から BC に，B から PR に，C から QS に，それぞれ垂線を下ろしそれぞれの足を H，I，J とします。 ∠ABH = ∠ABC = 180°- ∠PBA - ∠PBR = 180°- ∠PRB - ∠PBR = ∠BPR = ∠BPI，∠AHB = 90°= ∠BIP，AB = BP より， △ABH ≡ △BPI，BH = PI = PR - RI = 4 - RI で，また，∠PRB = 60°より RB = RI * 2 です。 同様にして，△ACH ≡ △CQJ，CH = QJ = QS - SJ = 7 - SJ，SC = SJ * 2 です。 そこで， RB + BC + SC = RS，RI * 2 + BC + SJ * 2 = 16，BC + (RI + SJ) * 2 = 16，(RI + SJ) * 2 = 16 - BC BC = BH + CH = (4 - RI) + (7 - SJ) = 11 - (RI + SJ) BC * 2 = 22 - (RI + SJ) * 2 = 22 - (16 - BC)，BC = 22 - 16 = 6 cm になります。 (解法2) まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。 △BPR を B の回りに時計回りに回転し P を A に重ね R の移動先を R'， △CQS を C の回りに反時計回りに回転し Q を A に重ね S の移動先を S'，とします。 すると，∠R'BR = ∠PBA = ∠PRB = ∠AR'B，R'A//RB，∠S'CS = ∠QCA = ∠QSC = ∠AS'C，S'A//SC，となって， R，B，C，S は同一直線上にあるので，R'A//RS，S'A//RS，R'，A，S' は同一直線上にあり R'S'//RS，となります。 さらに，∠S'R'B = ∠AR'B = 赤丸 = 60°= ∠AS'C = ∠R'S'C なので，□R'BCS' は等角が 60°の等脚台形になります。 そこで，RB = R'B = S'C = SC です。 これより，R'S' = R'B/2 + BC + S'C/2 = RB/2 + BC + SC/2 = RB + BC ですが， 一方で，R'S' = R'A + S'A = PR + QS = 4 + 7 = 11，なので，RB + BC = 11，です。 さらに，RB * 2 + BC = RB + BC + SC = RS = 16 なので，RB = 16 - 11 = 5 cm = SC，BC = 6 cm，になります。 (解法3) まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。 RP の延長上に点 D，RS 上に点 E を取って A が DE 上にある 正三角形DRE を作ります。 同様に，SQ の延長上に点 F，RS 上に点 G を取って A が FG 上にある 正三角形FGS を作ります。 A は DE と FG の交点になっています。 さらに，RD の延長と SG の延長の交点を T とします。 すると，△TRS も正三角形で，TR = TS = RS = 16 cm になり，□TDAG は平行四辺形になります。 以上の設定の下で， ∠BPR = 180°- ∠PRB - ∠PBR = 180°- ∠PBA - ∠PBR = ∠ABE，同様にして ∠RBP = ∠EAB，BP = AB より，△BPR ≡ △ABE， 同様にして，結局，△BPR，△ABE，△PAD は合同，△CQS，△ACG，△QAF は合同，になります。 そこで， TR = TD + DP + PR = GA + DP + PR = QS + RB + PR = 7 + RB + 4 = 16，RB = 5 cm TS = TF + FQ + QS = DA + FQ + QS = PR + SC + QS = 4 + SC + 7 = 16，SC = 5 cm RS = RB + BC + SC = 5 + BC + 5 = 16，BC = 6 cm になります。 実は，最初に思い付いたのは数学，三角関数，でしたが，それをアレンジし直したのが，(解法1)です。 (解法2)は，回転が使えそうな気がして考えた解法です。これも結構面白いかな。 (解法3)は，実は他のサイトの問題で似たような図があったのを思い出して考え付いた解法です。 算数解法としては，この三つの中では一番きれいなように思います。 |
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ネコの住む家
9月13日（木） 13:54:55
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