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uchinyan |
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はい，こんにちは。 さて，今回の問題は．．．
この問題は，以前に何回か類題を解いたことがありました。かなりの有名問題かも。 基本的に数えるだけですが，規則性を見つけて効率よく，がポイントですね。一応，こんな感じで。 (解法1) 正方形の一辺の，左下隅の頂点から水平に右に○だけ行って上に△だけ上がる割合 △/○，で場合分けして数えます。 数学的にはいわゆる傾きですが，今回は辺上に点があってもいいので，△/○ を敢えて約分しないのがコツです。 ○ >= 9 のとき，なし。 ○ = 8 のとき，△ = 0 だけで，1^2 = 1 通り。 ○ = 7 のとき，△ = 0, 1 で，2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 通り。 ○ = 6 のとき，△ = 0, 1, 2 で，3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14 通り。 ○ = 5 のとき，△ = 0, 1, 2, 3 で，4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 16 + 9 + 4 + 1 = 30 通り。 ○ = 4 のとき，△ = 0, 1, 2, 3, 4 で，5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55 通り。 ○ = 3 のとき，△ = 0, 1, 2, 3, 4, 5 で，6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 通り。 ○ = 2 のとき，△ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で，7^2 + 6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 140 通り。 ○ = 1 のとき，△ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 で，8^2 + 7^2 + 6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 通り。 以上ですべてなので， 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + 91 + 140 + 204 = 540 通り になります。 この足し算を最初からそのまま書いて並べ替えると， 8^2 * 1 + 7^2 * 2 + 6^2 * 3 + 5^2 * 4 + 4^2 * 5 + 3^2 * 6 + 2^2 * 7 + 1^2 * 8 になります。何かキレイな式だなぁ，と思うでしょう。実はこれには意味があって，次の解法になります。 (解法2) 横が水平で縦が垂直な一辺が○の正方形，例えば，右上の図のような正方形，この場合は一辺が３ですね，を考えると， この正方形の辺上の点を頂点とする正方形は，自分自身も含めてちょうど ○ 個，あることが分かります。 横が水平で縦が垂直な一辺が○の正方形自体は，左の図の中に (9 - ○) * (9 - ○) = (9 - ○)^2 個，あります。 そこで，出来上がる正方形の総数は，(9 - ○)^2 に ○ を掛けて足し上げればいいので， 8^2 * 1 + 7^2 * 2 + 6^2 * 3 + 5^2 * 4 + 4^2 * 5 + 3^2 * 6 + 2^2 * 7 + 1^2 * 8 = 64 + 98 + 108 + 100 + 80 + 54 + 28 + 8 = 540 通り になります。 まぁ，どっちが楽かは，好みもありそうな気もしますが．．． |
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ネコの住む家
7月26日（木） 12:02:28
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