|
uchinyan |
|
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
あはは，今回もやられてしまいましたね (^^; 算数でも数学でも 12 cm^2 で掲示板に入れず，正解者の人数の少なさから「またかなぁ〜」と思っておりました。 一応，正12角形に埋め込んで解きました。 それが解になるのは自然なのですが，いまいち算数でうまく説明し切れていません。 もう少し考えますね。 その後．．．ちと面倒かなぁ．．．一応，こんな感じで。 E から DC に，C から AE に，それぞれ平行な線を引きその交点を P とします。 ED//BC，AE//PC より，∠PCB = 180°- ∠AED = 180°- 150°= 30°，∠PCD = ∠PCB + ∠BCD = 30°+ 75°= 105°= ∠EDC， CD//PE より，∠CPE = 180°- ∠PCD = 180°- 105°= 75° = 180°- ∠EDC = ∠DEP，となって， □CDEP は等脚台形で，CP = DE，PD = CE = 4 cm，です。 そこで，AE = ED = PC で，AE//PC と合わせて □AECP は平行四辺形なので，PA = CE = 4 cm です。 さらに，BC 上に BF = BA となる点 F を取ると， △BAF は正三角形，∠EAF = 150°- 60°= 90°，AE = AF より △AEF は直角二等辺三角形， ∠EFC = 180°- 60°- 45°= 75°で □EFCD は等脚台形，となって，DF = EC = 4 cm です。 そして，ED = BA = BF，ED//BF なので，□EBFD は平行四辺形となって EB = DF = EC = 4 cm になります。 △ABE ≡ △EAD なので，AD = EB = 4 cm = PA = PD となり △PAD は正三角形となり， ∠EAD = ∠EDA = 15°，△PAE ≡ △PDE も合わせて， ∠PAE = ∠PDE = 60°+ 15°= 75°= ∠PEA = ∠PED ，∠APE = ∠DPE = 30°，PA = PE = PD = 4 cm，です。 さらに，∠PAB = 150°- 75°= 75°= ∠PAE なので， △PAB ≡ △PAE，∠PBA = ∠PEA = 75°，∠BPA = ∠EPA = 30°，PB = PE = 4 cm，です。 結局，△PBA，△PAE，△PED は，PB = PA = PE = PD = 4 cm，∠BPA = ∠APE = ∠EPD = 30°の合同な二等辺三角形になります。 そして，対称性より ∠ABD = ∠EDB = 30°で BD//AE//PC となり △PBC = △PDC なので， 五角形ABCDE = 六角形PCDEAB - △PBC = 五角形PDEAB + △PDC - △PBC = 五角形PDEAB = △PBA + △PAE + △PED = △PBA * 3 = 4 * (4 * 1/2) * 1/2 * 3 = 12 cm^2 になります。 この解法は，正12角形への埋め込みを意識したものですが， 途中で現れる EB = EC = 4 cm と，∠EBC = 60°- 15°= 45°とから △EBC が直角二等辺三角形になることと， △ABE を半分にしてくっつけ直した 30°，75°，75°の二等辺三角形を 30°の頂点を E に 75°の頂点の片方を D に重ねると， 等辺が 4 cm で頂角が 30°の二等辺三角形になると分かるので， 4 * 4 * 1/2 + 4 * (4 * 1/2) * 1/2 = 8 + 4 = 12 cm^2 とした方が簡単かも知れませんね。 |
|
ネコの住む家
5月18日（金） 11:35:30
39348 |