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uchinyan |
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#38672他
最近の皆さんは複素数が不得手なのかな。私だったらこう考えますが．．． z = cos(2π/7) + i * sin(2π/7) とし，「~」で複素共役を表すことにします。 すると，|z|^2 = zz~ = 1，x = z + z~ = z + 1/z で，ド・モアブルの定理より z^7 = 1 ですが，z ≠ 1 なので， z^7 - 1 = (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0 z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 z ≠ 0 に注意して変形すると， z^3 + z^2 + z + 1 + 1/z + 1/z^2 + 1/z^3 = 0 (z + 1/z)^3 + (z + 1/z)^2 - 2(z + 1/z) - 1 = 0 x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 これより次数が下がらないことは☆彡さんのような議論をしてもいいですが， 有理係数の一次式の因数をもつには有理数解をもつことが必要ですが，x^3 の係数が 1 なので整数解しかなく， 定数項より x = 1 又は -1 ですが，これは明らかにありえないので，上式に確定します。 そこで，P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1 になります。 こう考えればほとんど暗算でもでき，難しくないと思うのですが，「正解率１．０％」というのは不思議。 何か抜けがあるのかな？ それともやはり複素数が不得手なため？ |
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ネコの住む家
12月9日（金） 11:13:09
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