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あー下の全部2cos(2π/7)じゃなくてcos(2π/7)で考えてますね書き直します2π/7=θと置くと
cos(3θ)=cos(4θ)より 4cos^3θ-3cosθ=8cos^4θ-8cos^2θ+1 cosθ=xと置くと 8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0 (x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0 明らかx=1では無いので 8x^3+4x^2-4x-1=0を満たすので2cos(2π/7)=tと置くと t^3+t^2-2t-1=0となり またtが有理数と仮定しt=p/qと置くと(pqは互いに素な整数でq>0) p^3/q^3+p^2/q^2-2p/q-1=0 両辺にq^2を掛けると p^3/q+p^2-2pq-q^2=0 p^3/q=q^2+2pq-p^2 右辺が整数なので左辺も整数なのでq=1となりtは整数となるがありえないのでtは無理数 tが無理数なのでP(x)が一次式には成り得ない。 t^3+t^2-2t-1=0が成り立つのでP(x)が二次式の時 二次式×一次式の形になるので上よりありえない。 よって最低でも３次式なので P(x)=x^3+x^2-2x-1である。 なんか学コンぽいなーと |
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12月8日（木） 23:36:56
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