|
uchinyan |
|
#38510
＞立方体の辺を赤と青で塗り分ける方法は何通りあるか？ ＞回転して一致するものは同じものとし、使わない色があってもいいものとします。 「塗り分ける」の意味があいまいですが，少なくとも，一つの辺には同じ色を塗る，のでしょう。この後ですが．．． ナイーブに解釈すると，「塗り「分ける」」のだから，隣り合う辺には異なる色を塗る，のだろうと思います。 これだと，明らかに 0 通りです。 しかしこれでは問題にならないし，「使わない色があってもいい」がナンセンスです。 そこで，多分，隣り合う辺に同じ色を塗ってもよい，のだろうと思います。 これだと，かなり面倒な問題ですが，218 通り，になるようです。 一所懸命に数えても何とかなりますが，かなり面倒です。実は，私はこの方法ではまだうまくいっていません。 そこで，プログラムを組みました。その結果が 218 通り。 ところが，難しくなりますが，実は，群論の知識を使うと比較的容易に解けてしまい，一般に n 色以下の場合で， (n^12 + 3 * n^6 + 6 * n^3 + 6 * n^7 + 8 * n^4)/24 通り と計算できてしまいます。今は n = 2 で，218 通り，になります。キーワードは，ポリアの定理です。 ただ，この理解には群論の知識が必要で，私もまだ十分には理解できていません。 なお，この問題の類題が，CRYING DOLPHINさんのサイトでの没になった過去問にあり，掲示板で話題になって，ポリアの定理を知りました。 私は，群論は暇を見てボチボチ勉強中なので，その理解も道遠しです。 |
|
ネコの住む家
10月25日（火） 16:09:30
38514 |