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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，算チャレとしては，標準的か，やや易しめ，といった感じでしょうか。楽しい問題だと思います。こんな感じで。 (解法1) まず，比を求めるので全体のスケールは自由に取れて，AP = 2，PC = 5，単位は例えば cm，として考えます。 すると，AB = AC = 7，△ABC = 7 * 7 * 1/2 = 49/2，です。 A，P から BC に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とします。 すると，△ABC は直角二等辺三角形なので，AH = BH = CH，AH：PI = CA：CP = (5 + 2)：5 = 7：5 で， △ICP も直角二等辺三角形なので，CI = PI，PI：IB = PI：(BC - CI) = 5：(7 * 2 - 5) = 5：9，になります。 一方で，△PAQ ∽ △PIB なので，PA：AQ = PI：IB = 5：9，2：AQ = 5：9，AQ = 18/5，BQ = AB - AQ = 7 - 18/5 = 17/5，となり， △PQB = BQ * AP * 1/2 = 17/5 * 2 * 1/2 = 17/5，△PQB/△ABC = 17/5 * 2/49 = 34/245 つまり，△PQB は △ABC の 34/245 倍になります。 (解法2) AH：PI = 7：5 までは(解法1)と同じです。これより，△PBC = △ABC * 5/7 = 49/2 * 5/7 = 35/2 です。 さらに，△PCI も直角二等辺三角形なので，△PCI = CP * CP/2 * 1/2 = 5 * 5/2 * 1/2 = 25/4，となり， △PIB = △PBC - △PCI = 35/2 - 25/4 = 45/4 です。 ここで，P から BC に平行な線を引き AB との交点を R とすると，△ARP も直角二等辺三角形なので， AR = AP = 2，△ARP = 2 * 2 * 1/2 = 2，△ARP ∽ △PCI，(AP * AP)：(IP * IP) = △ARP：△PCI = 2：(25/4) = 8：25 です。 一方で，△PAQ ∽ △PIB なので，△PAQ：△PIB = (AP * AP)：(IP * IP) = 8：25，△PAQ：(45/4) = 8：25，△PAQ = 18/5，となり， △PQB = △ABC - △PAQ - △PBC = 49/2 - 18/5 - 35/2 = 17/5，△PQB/△ABC = 17/5 * 2/49 = 34/245 つまり，△PQB は △ABC の 34/245 倍になります。 |
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ネコの住む家
10月20日（木） 12:06:47
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