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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，これは算数というよりパズルでしょうか。申し訳ないのですが，個人的にはどうにも面白みが感じられなくて．．． と，最初は思ったのですが，以下の(解法1)で解き終わった後，何かカタラン数っぽいなぁ，と気付きました。 それを使ったのが(解法2)です。しかし，却って分かりづらいかも知れませんね。 (解法1) 条件より，明らかに， □□９ □８９ □８９ □□９ □□８ □□□ ２□□ ２□８ １２□ １２□ １□□ １□□ で，１番目と３番目，２番目と４番目，の場合の数は同じです。 さらに，１番目は，明らかに，５×２＝１０通り。 一方，２番目は， □８９ □８９ □８９ □４□ □５□ □６□ １２□ １２□ １２□ のいずれかで，１番目と３番目の場合の数は同じです。 そして，この１番目は， □８９ ３４□ １２□ だけで，３通り。したがって，３番目も３通り。２番目は， □８９ □８９ ４８９ ４５□ ３５□ ３６□ １２３ １２４ １２□ のいずれかで，それぞれ，２通り，２通り，１通り，で，５通り，結局， 最初の２番目は，３＋５＋３＝１１通り。 したがって，全部で，（１１＋１０）×２＝４２通り。 ２×２で場合分けする方法もあるかも，ですが，まぁ，いいでしょう。 (解法2) 要するに数の小さい順に，下下下中中中上上上，などと並べることになります。この場合は， ７８９ ４５６ １２３ で，例えば，下下中上下中上中上，だったら， ４７９ ３６８ １２５ です。そこで，題意を満たす数の並びと， 下，中，上の文字を， 下が中よりも左側に多いか同じだけあり，中が上よりも左側に多いか同じだけある， ように並べたものとが１：１に対応します。 これは，３次元の格子を考えて，横方向に下，縦方向に中，高さ方向に上，を対応させると， ３×３×３の立方体のうち， 立方体の辺三つ，立方体の面の正方形の対角線二つ，立方体の対角線，を辺とする三角すいでの経路の数え上げになります。 いわば，３次元カタラン数？ それと，図が描けないので，描けてもかな，分かりづらいかも．．． そこで，この三角すい一番下の面から １段目 01 01 01 00 03 02 01 <----- 01 + 02，01 + 01，01 05 02 <----- 03 + 02，02 05 <----- 05 ２段目（１段目の２行目以下の１段上） 06 03 01 <----- 03(１段目から) + 03(２段目の右から)，02(１段目から) + 01(２段目の右から)，01(１段目から) 16 05 <----- 05(１段目から) + 06(２段目の上から) + 05(２段目の右から)，02(１段目から) + 03(２段目の上から) 21 <----- 05(１段目から) + 16(２段目の上から) ３段目（２段目の２行目以下の１段上） 21 05 <----- 16(２段目から) + 05(２段目の右から)，05(１段目から) 42 <----- 21(２段目から) + 21(２段目の上から) ４段目（３段目の２行目以下の１段上） 42 <----- 42(３段目から) そこで，４２通り，になります。 |
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ネコの住む家
10月13日（木） 12:45:08
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