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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
この手の問題は，知る人ぞ知る有名問題ですね。ただ，初見の人は戸惑う問題かも知れません。 (解法1) 円周上の９個の点を 1 〜 9 と名前をつけます。 まず，1 から引いた線分に関して考えます。 隣り合う点には引かないので，1-2，1-9 と引くことはありません。また，どの３本も一点で交わらないことに注意します。 1-3 と引いた場合，(9 - 2 - 1) + 1 = 7 個に分けられます。 1-4 と引いた場合，(9 - 2 - 2) * 2 + 1 = 11 個に分けられます。 1-5 と引いた場合，(9 - 2 - 3) * 3 + 1 = 13 個に分けられます。 1-6 と引いた場合，1-5 の場合と同じなので 13 個に分けられます。 1-7 と引いた場合，1-4 の場合と同じなので 11 個に分けられます。 1-8 と引いた場合，1-3 の場合と同じなので 7 個に分けられます。 そこで，1 から引いた場合の分割の総数は (7 + 11 + 13) * 2 = 62 個 です。 2 〜 9 も同様で 62 個ずつですが，例えば 1-6 と 6-1 は同じで，全体に二つずつ重複するので半分にして， 62 * 9 * 1/2 = 279 個，になります。 (解法2) 円周上の隣り合わない二点を結ぶ際に， 他のそうした線分と交わるごとに，最初の線分の分割が一つ増え，最後に円周上の点と結んで，分割はもう一個増えます。 線分の交点では，必ず二本の線分が交わっていることに注意すると，結局，全体としての線分の分割の個数は， 線分の交点の個数 * 2 + 線分の本数 になります。 線分の交点の個数は，円周上の４点でできる四角形の対角線の交点の個数に等しく，四角形の対角線の交点は四角形に一個ずつなので， 結局，四角形の個数，つまり，円周上の４点のとり方の場合の数，になって，9C4 = 126 個 です。 また，線分の本数は，円周上の点から２点を取って隣り合う線分の本数を引けばいいので，9C2 - 9 = 27 本 です。 そこで，求める線分の分割の個数は，126 * 2 + 27 = 279 個，になります。 なお，どちらでも，円周上に n 個の点の場合への一般化は可能ですが，(解法2)の方が簡単で， nC4 * 2 + nC2 - n = n(n-1)(n-2)(n-3)/24 * 2 + n(n-1)/2 - n = n(n^3 - 6n^2 + 17n - 24)/12 = n(n-3)(n^2 - 3n + 8)/12 個 になりますね。 |
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ネコの住む家
6月30日（木） 12:22:42
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