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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
本当は，BR：RQ = 4：1 というのは不要な気もするんですが，一応こんな感じで。 AB//QC より △ABR ∽ △DQR で，AB：DQ = RA：RD = RB：RD = 4：1，CD：DQ = AB：DQ = 4：1 です。 そこで，□ABCD を 1 とすると， △ACD = 1/2 = △BCD △QAD = △ACD * QD/CD = 1/2 * 1/4 = 1/8 △PQC = △ACD * CQ/CD * PD/AD = 1/2 * 5/4 * PD/AD = 5/8 * PD/AD 五角形QABCP = □ABCD + △QAD + △PQC = 1 + 1/8 + 5/8 * PD/AD = 9/8 + 5/8 * PD/AD = 3/2 PD/AD = 3/5 つまり，AD：DP = 5：3 になります。すると，△BCS ∽ △PDS より，CS：DS = BC：PD = AD：PD = 5：3 です。 そこで， △RBS = △QBS * BR/BQ = (△QBC - △SBC) * BR/BQ = (△BCD * CQ/CD - △BCD * CS/CD) * BR/BQ = (1/2 * 5/4 - 1/2 * 5/8) * 4/5 = 5/16 * 4/5 = 1/4 つまり，△RBS は □ABCD の 1/4 倍になります。 ただ．．． 一般に，今，五角形QABCP = □ABCD * a の場合，AD：PD = BC：PD = BR：RQ = 1：x，AB：QD = CD：QD = CS：DS = 1：y とおくと， 五角形QABCP/□ABCD = 1 + △QAD/□ABCD + △PQC/□ABCD = 1 + 1/2 * QD/CD + 1/2 * CQ/CD * PD/AD = 1 + 1/2 * y + 1/2 * (1 + y) * x = a xy + x + y = 2a - 1 △RBS = △QBS * BR/BQ = (△QBC - △SBC) * BR/BQ = △BCD * (CQ/CD - CS/CD) * BR/BQ △RBS/□ABCD = △BCD/□ABCD * (CQ/CD - CS/CD) * BR/BQ = 1/2 * ((1 + y) - 1/(1 + x)) * 1/(1 + y) = (1 - 1/(1 + x)(1 + y))/2 = (1 - 1/(xy + x + y + 1))/2 = (1 - 1/(2a - 1))/2 = (a - 1)/(2a - 1) つまり，BR：RQ によらずに，△RBS は □ABCD の (a - 1)/(2a - 1) 倍になるようです。 |
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ネコの住む家
5月19日（木） 12:50:50
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