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uchinyan |
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JMO本選の5.ですが，解けたような気がします。こんな感じで。
与えられた４点は，どの３点も同一直線上にないので，四角形を作ります。この４点を反時計回りに A，B，C，D とします。 また，４点からできる三角形 △ABC，△BCD，△CDA，△DAB の内心をそれぞれ I1，I2，I3，I4 とします。 さらに，BC と，円I1，円I2 との接点をそれぞれ T1，T2 とします。 I1T1 = I2T2，I1T1⊥BC，I2T2⊥BC より，□I1T1T2I2 は長方形なので，I1I2//T1T2，I1I2 = T1T2 で，I1I2//BC です。 ここで，T1T2 = BC - BT1 - CT2 ですが，円外の一点から引いた接線の性質より， BT1 = (BA + BC - CA)/2，CT2 = (CB + CD - DB)/2，となるので， I1I2 = T1T2 = BC - (BA + BC - CA)/2 - (CB + CD - DB)/2 = (AC + DB - AB - DC)/2 同様のことを，DA，I3，I4 について考えると， I3I4 = (BD + CA - CD - BA)/2 そこで，I1I2 = I3I4 です。 同様にして，I2I3 = I4I1 もいえます。 これより，□I1I2I3I4 は平行四辺形です。 ところが，I1I2//BC でしたが，先ほどと同様に，I2I3//CD，I3I4//DA，I4I1//AB もいえるので， □ABCD も平行四辺形になります！ これより，AD//BC なので，△ABC = △DBC ですが，AB = DC と，内接円の半径が等しいので r とすれば， (AB + BC + CA) * r * 1/2 = △ABC = △DBC = (DB + BC + CD) * r * 1/2 AC = BD つまり，□ABCD は平行四辺形であってしかも対角線の長さが等しくなります。 そこで，□ABCD は長方形です！！ これより，４点からできる三角形 △ABC，△BCD，△CDA，△DAB はすべて合同になります。 これで証明ができました。 なかなか気付かなかったのですが，気付いたら，何かあっけない感じです。 細かい点はともかく，これでよさそうに思うのですが，どこか間違っているでしょうか？ これでよければ，中学レベルの問題で，それもかなり基本的な接線の性質ぐらいしか使っていないので， できる小学生ならば，解いちゃうかもしれない．．．？ |
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ネコの住む家
2月17日（木） 13:07:52
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